Какой треугольник не существует? Отметьте его знаком «-» в рамке около номера задания. Ответ обоснуйте.

Решение:

Для того чтобы треугольник существовал, необходимо, чтобы сумма длин любых двух его сторон была больше длины третьей стороны (неравенство треугольника).

• 1. В ΔABC: AC = 12, AB = 18, BC = 24.
  • 12 + 18 = 30 > 24 (верно)
  • 12 + 24 = 36 > 18 (верно)
  • 18 + 24 = 42 > 12 (верно)

  Треугольник существует.

• 2. В ΔABC: AC = 22, AB = 18, BC = 52.
  • 22 + 18 = 40. 40 не больше 52.

  Треугольник не существует.

• 3. В ΔABC: ∠C = 90°, AB = 16, AC = 20, BC = 12.
  • По теореме Пифагора: AB² = AC² + BC².
  • 16² = 256.
  • 20² + 12² = 400 + 144 = 544.
  • 256 ≠ 544.

  Треугольник не существует (так как стороны не удовлетворяют теореме Пифагора для прямоугольного треугольника).

• 4. В ΔABC: ∠C = 90°, AB = 13, AC = 5, BC = 12.
  • По теореме Пифагора: AB² = AC² + BC².
  • 13² = 169.
  • 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
  • 169 = 169.

  Треугольник существует.

• 5. В ΔABC: ∠A = ∠C = 25°, AB = 14, AC = 8.
  • Если ∠A = ∠C, то треугольник равнобедренный с основанием AC. Следовательно, AB = BC.
  • Сумма углов треугольника: ∠B = 180° - (25° + 25°) = 180° - 50° = 130°.
  • Проверим неравенство треугольника:
  • AC + BC > AB => 8 + 14 > 14 (верно)
  • AC + AB > BC => 8 + 14 > 14 (верно)
  • AB + BC > AC => 14 + 14 > 8 (верно)

  Треугольник существует.

• 6. В ΔABC: ∠C = 90°, AB = AC = BC = 10.
  • Если ∠C = 90°, то треугольник прямоугольный.
  • Если AB = AC = BC, то треугольник равносторонний.
  • Прямоугольный треугольник не может быть равносторонним (углы должны быть по 60°).
  • Также, по теореме Пифагора: AB² = AC² + BC².
  • 10² = 100.
  • 10² + 10² = 100 + 100 = 200.
  • 100 ≠ 200.

  Треугольник не существует.

Ответ: Не существуют треугольники под номерами 2, 3 и 6.