67. Какой длины волны свет надо направить на поверхность цезия, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была 2,1 Мм/с?

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться уравнением Эйнштейна для фотоэффекта и выразить из него длину волны.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

$$E = A + K_{max}$$,

где:

• $$E$$ – энергия фотона, падающего на поверхность металла,
• $$A$$ – работа выхода электрона из металла,
• $$K_{max}$$ – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона связана с длиной волны следующим образом:

$$E = \frac{hc}{\lambda}$$,

где:

• $$h$$ – постоянная Планка ($$6,626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$$),
• $$c$$ – скорость света в вакууме ($$3 \times 10^8 \text{ м/с}$$),
• $$\lambda$$ – длина волны света.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона:

$$K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$$,

где:

• $$m$$ – масса электрона ($$9,109 \times 10^{-31} \text{ кг}$$),
• $$v$$ – максимальная скорость фотоэлектрона.

Работа выхода для цезия равна $$2,14 \text{ эВ}$$. Переведем ее в Джоули:

$$A = 2,14 \text{ эВ} = 2,14 \times 1,602 \times 10^{-19} \text{ Дж} = 3,428 \times 10^{-19} \text{ Дж}$$.

1. Выразим длину волны из уравнения Эйнштейна:
$$\frac{hc}{\lambda} = A + \frac{1}{2}mv^2$$ $$\lambda = \frac{hc}{A + \frac{1}{2}mv^2}$$
2. Подставим значения и вычислим длину волны:

Скорость фотоэлектронов $$v = 2,1 \text{ Мм/с} = 2,1 \times 10^6 \text{ м/с}$$.

$$K_{max} = \frac{1}{2} \times 9,109 \times 10^{-31} \text{ кг} \times (2,1 \times 10^6 \text{ м/с})^2 = 2,013 \times 10^{-18} \text{ Дж}$$ $$\lambda = \frac{6,626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \times 3 \times 10^8 \text{ м/с}}{3,428 \times 10^{-19} \text{ Дж} + 2,013 \times 10^{-18} \text{ Дж}} = \frac{1,988 \times 10^{-25} \text{ Дж} \cdot \text{м}}{2,356 \times 10^{-18} \text{ Дж}} = 8,438 \times 10^{-8} \text{ м}$$
3. Переведем в нанометры:
$$\lambda = 8,438 \times 10^{-8} \text{ м} = 84,38 \text{ нм}$$

Ответ: $$\lambda = 84,38 \text{ нм}$$