Какому из следующих выражений равна дробь \( \frac{3^n}{27^n} \)?

Решение:

Чтобы упростить дробь \( \frac{3^n}{27^n} \), представим число 27 как степень тройки: \( 27 = 3^3 \).

Подставим это в знаменатель:

\[ \frac{3^n}{27^n} = \frac{3^n}{(3^3)^n} \]

Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\[ \frac{3^n}{(3^3)^n} = \frac{3^n}{3^{3n}} \]

Теперь используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ \frac{3^n}{3^{3n}} = 3^{n - 3n} = 3^{-2n} \]

Представим отрицательный показатель степени как дробь:

\[ 3^{-2n} = \frac{1}{3^{2n}} \]

Также можно записать как \( \frac{1}{(3^2)^n} = \frac{1}{9^n} = (\frac{1}{9})^n \).

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

1. \( 3^n - 3^3 \) — не подходит.
2. \( 3^\frac{n}{d} \) — неизвестный символ, не подходит.
3. \( (\frac{1}{9})^n \) — подходит.
4. \( 3^n - 3 \) — не подходит.

Ответ: 3.