Какое уравнение получается, если в уравнении x⋅y' = 6x - y выполнить подстановку z = y/x?

Привет! Давай разберемся с этой задачкой вместе.

У нас есть уравнение: x⋅y' = 6x - y

И нам нужно сделать подстановку: z = y/x

Шаг 1: Выразим 'y' через 'z' и 'x'

Из подстановки z = y/x, мы можем получить y = z⋅x.

Шаг 2: Найдем производную 'y' по 'x' (y')

Чтобы найти y', мы продифференцируем y = z⋅x по x. Здесь нам понадобится правило дифференцирования произведения:

(u⋅v)' = u'⋅v + u⋅v'

В нашем случае, u = z и v = x.

Производная z по x — это z' (или dz/dx).

Производная x по x — это 1.

Значит, y' = z'⋅x + z⋅1, или y' = x⋅z' + z.

Шаг 3: Подставим 'y' и 'y'' в исходное уравнение

Наше исходное уравнение: x⋅y' = 6x - y

Подставляем y' = x⋅z' + z и y = z⋅x:

x⋅(x⋅z' + z) = 6x - (z⋅x)

Шаг 4: Упростим полученное уравнение

Раскроем скобки:

x²⋅z' + x⋅z = 6x - x⋅z

Теперь перенесем все члены с x⋅z в правую часть:

x²⋅z' = 6x - x⋅z - x⋅z

x²⋅z' = 6x - 2x⋅z

Шаг 5: Выделим 'z''

Разделим обе части уравнения на x² (предполагая, что x ≠ 0):

z' = (6x - 2x⋅z) / x²

Теперь можно упростить дробь, вынеся x в числителе:

z' = x⋅(6 - 2z) / x²

И сократить x:

z' = (6 - 2z) / x

Смотрим на варианты ответов:

Ответ 1: z' = (6z - 1)/x

Ответ 2: z' = (6 - 2z)/x

Ответ 3: z' = (6z + 2)/x

Ответ 4: z' = (6 - z)/x

Наш результат совпадает со Вторым ответом.

Ответ: 2