Какое определение ε-δ предела lim f(x) = L верно? xa

Решение:

Определение предела функции \( f(x) \) в точке \( a \) равно \( L \) (записывается как \( \lim_{x\to a} f(x) = L \)) означает, что для любого положительного числа \( \varepsilon \) существует такое положительное число \( \delta \), что из условия \( 0 < |x - a| < \delta \) следует \( |f(x) - L| < \varepsilon \).

Рассмотрим предложенные варианты:

• Вариант A: \( \forall ε > 0, γδ > 0 : |x - a| < δ ⇒ |f(x) - L| ≤ ε \) — Неверно, так как условие \( 0 < |x - a| \) опущено, и неравенство \( |f(x) - L| ≤ ε \) вместо \( < \varepsilon \).
• Вариант B: \( ∀δ > 0, ∃ε > 0 : 0 < |x - a| < ε ⇒ |f(x) - L| < δ \) — Неверно, \( ε \) и \( δ \) поменяны местами, и условие \( |x - a| < ε \) вместо \( < δ \).
• Вариант C: \( ∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x - a| < δ ⇒ |f(x) - L| < ε \) — Верно. Это стандартное определение предела по Коши.
• Вариант D: \( ∃ε > 0, ∀δ > 0 : 0 < |x - a| < δ ⇒ |f(x) - L| < ε \) — Неверно, квантор \( ∃ε \) должен быть \( ∀ε \).

Ответ: C