1 Какое число надо вписать в окошко, чтобы равенств 34 12 57 стало верным?

Чтобы равенство $$\frac{3}{5} + \frac{4}{7} = \frac{12}{\boxed{}}$$ стало верным, нужно найти неизвестный знаменатель.

Приведем дроби $$\frac{3}{5}$$ и $$\frac{4}{7}$$ к общему знаменателю. Общий знаменатель – это наименьшее общее кратное чисел 5 и 7, то есть 35.

Приведем дроби к общему знаменателю 35:

$$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$$

$$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{20}{35}$$

Сложим дроби:

$$\frac{21}{35} + \frac{20}{35} = \frac{21 + 20}{35} = \frac{41}{35}$$

Итак, $$\frac{3}{5} + \frac{4}{7} = \frac{41}{35}$$. Но дано, что $$\frac{3}{5} + \frac{4}{7} = \frac{12}{\boxed{}}$$. Это неверное равенство.

По условию $$\frac{3\frac{4}{5}}{7} = \frac{12}{\boxed{}}$$

Переведем смешанную дробь в неправильную: $$3\frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{15 + 4}{5} = \frac{19}{5}$$

Получим $$\frac{\frac{19}{5}}{7} = \frac{19}{5} : 7 = \frac{19}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{19}{35}$$

Значит, $$\frac{19}{35} = \frac{12}{\boxed{}}$$. Равенство неверно.

Предположим, что было условие $$ \frac{3}{5 \frac{7}{\boxed{}}} = \frac{12}{\boxed{}}$$

Тогда $$5 \frac{7}{\boxed{}} = \frac{5 \cdot \boxed{} + 7}{\boxed{}} = \frac{3 \cdot \boxed{}}{12}$$,

$$ \frac{5 \cdot \boxed{} + 7}{\boxed{}} = \frac{\boxed{}}{4}$$. Обозначим через x неизвестное.

$$ \frac{5x+7}{x} = \frac{3x}{12} $$,

$$ (5x+7) \cdot 12 = 3x \cdot x $$,

$$ 60x+84 = 3x^2 $$,

$$ x^2-20x-28=0 $$.

$$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 400+112 = 512$$. $$x_1 = \frac{20+\sqrt{512}}{2}$$, $$x_2 = \frac{20-\sqrt{512}}{2}$$.

Поскольку число должно быть целым, то такого числа не существует.

Предположим, что равенство имеет вид: $$\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{7} = \frac{12}{\boxed{}}$$.

$$\frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 7} = \frac{12}{35}$$. Тогда в окошко нужно вписать число 35.

Ответ: 35