19. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями? 1) Около правильного семиугольника нельзя описать окружность. 2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 5, 12, 13, находится на стороне этого треугольника. 3) Центром окружности, описанной около равностороннего треугольника, является точка пересечения его биссектрис. 4) В любой прямоугольник можно вписать окружность. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ:

Решение

Давай разберем каждое утверждение по порядку:

1. Утверждение 1: Около правильного семиугольника нельзя описать окружность.

   Это утверждение неверно. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Правильный семиугольник не является исключением.

2. Утверждение 2: Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 5, 12, 13, находится на стороне этого треугольника.

   Заметим, что треугольник со сторонами 5, 12 и 13 является прямоугольным, так как выполняется теорема Пифагора: \[5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\] Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Следовательно, центр окружности находится на стороне треугольника (гипотенузе). Это утверждение верно.

3. Утверждение 3: Центром окружности, описанной около равностороннего треугольника, является точка пересечения его биссектрис.

   В равностороннем треугольнике биссектрисы также являются медианами и высотами. Точка пересечения биссектрис (она же медиан и высот) является центром как вписанной, так и описанной окружности. Это утверждение верно.

4. Утверждение 4: В любой прямоугольник можно вписать окружность.

   Это утверждение неверно. В прямоугольник можно вписать окружность, только если он является квадратом (то есть, если все его стороны равны). В общем случае, в прямоугольник можно вписать окружность, если равны его противоположные стороны, но не все стороны.

Таким образом, истинными являются утверждения 2 и 3.

Ответ: 23

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!