Какие из изображенных на рисунке графов можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги? И почему?

Решение:

Граф можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, если он является Эйлеровым или имеет не более двух вершин с нечетной степенью. В таких графах существует Эйлеров путь (если две вершины с нечетной степенью) или Эйлеров цикл (если все вершины имеют четную степень).

Анализ графов:

• Первый граф (ромбы): Имеет 4 вершины. Две нижние вершины имеют степень 3 (нечетная), две верхние — степень 2 (четная). Поскольку есть ровно две вершины с нечетной степенью, этот граф можно нарисовать, не отрывая карандаша.
• Второй и третий графы (прямоугольники с линиями): Все вершины имеют четную степень. Следовательно, их можно нарисовать, не отрывая карандаша.
• Четвертый граф (звезда): Имеет 5 вершин. Все вершины имеют степень 4 (четная). Следовательно, его можно нарисовать, не отрывая карандаша.
• Пятый граф (конверт): Имеет 4 вершины. Две вершины имеют степень 3 (нечетная), две другие — степень 2 (четная). Поскольку есть ровно две вершины с нечетной степенью, этот граф можно нарисовать, не отрывая карандаша.

Ответ: Все изображенные графы можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, так как в каждом из них либо все вершины имеют четную степень, либо ровно две вершины имеют нечетную степень.