Какая функция является первообразной для функции f(x) = \(\frac{2x^3}{3} + 12x^2 + \frac{x}{2}\)?

Решение:

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = \frac{2x^3}{3} + 12x^2 + \frac{x}{2} \), проинтегрируем каждый член функции:

1. Интеграл от \( \frac{2x^3}{3} \) равен \( \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{2x^4}{12} = \frac{x^4}{6} \).
2. Интеграл от \( 12x^2 \) равен \( 12 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 12 \cdot \frac{x^3}{3} = 4x^3 \).
3. Интеграл от \( \frac{x}{2} \) равен \( \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4} \).
4. Общая первообразная будет иметь вид \( F(x) = \frac{x^4}{6} + 4x^3 + \frac{x^2}{4} + C \), где C — константа интегрирования.

Сравнивая полученную формулу с предложенными вариантами, находим соответствующую функцию.

Ответ: \( F(x) = \frac{x^4}{12} + 6x^3 + \frac{x^2}{4} - 1 \).