Какая функция является первообразной для функции f(x) = 2x^3/3 + 12x^2 + x/2 ? Выбери верный вариант ответа.

Решение:

Чтобы найти первообразную функцию F(x) для функции f(x), нужно проинтегрировать f(x) по x.

Дана функция \( f(x) = \frac{2x^3}{3} + 12x^2 + \frac{x}{2} \).

Интегрируем каждый член:

• \( \int \frac{2x^3}{3} dx = \frac{2}{3} \int x^3 dx = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{2x^4}{12} = \frac{x^4}{6} \)
• \( \int 12x^2 dx = 12 \int x^2 dx = 12 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 12 \cdot \frac{x^3}{3} = 4x^3 \)
• \( \int \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int x dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4} \)

Таким образом, первообразная функция \( F(x) \) равна:

\[ F(x) = \frac{x^4}{6} + 4x^3 + \frac{x^2}{4} + C \]

где C — произвольная постоянная.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, находим совпадение.

Проверка вариантов:

1. \( F(x) = \frac{x^4}{6} + 4x^3 + 0,25x^2 - 4 \) — неверно, так как \( 0.25x^2 \) это \( \frac{x^2}{4} \), но есть константа -4.

2. \( F(x) = \frac{3x^4}{4} + 4x^3 + \frac{x^2}{2} + 5 \) — неверно, коэффициенты при \( x^4 \) и \( x^2 \) отличаются.

3. \( F(x) = \frac{x^4}{12} + 6x^3 + \frac{x^2}{4} - 1 \) — неверно, коэффициенты при \( x^4 \) и \( x^3 \) отличаются.

4. \( F(x) = 2x^2 + 24x + \frac{1}{2} \) — неверно, это первообразная для другого набора функций.

Один из вариантов ответа должен был быть: \( F(x) = \frac{x^4}{6} + 4x^3 + \frac{x^2}{4} \). Однако, среди предложенных вариантов, мы должны выбрать тот, который наиболее близок или подразумевает наличие константы.

Проверим варианты еще раз, учитывая, что \( 0,25x^2 = \frac{x^2}{4} \):

Вариант 1: \( F(x) = \frac{x^4}{6} + 4x^3 + 0,25x^2 - 4 \) — это первообразная, если \( C = -4 \).

Ответ: \( F(x) = \frac{x^4}{6} + 4x^3 + 0,25x^2 - 4 \)