10. Какая доля радиоактивных ядер некоторого элемента распадается за время, равное половине периода полураспада?

Пусть $$N_0$$ - начальное количество ядер, а $$T_{1/2}$$ - период полураспада. Тогда, через время $$t = \frac{1}{2}T_{1/2}$$ количество оставшихся ядер $$N(t)$$ можно рассчитать по формуле: $$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$$, где $$\lambda$$ - константа распада, связанная с периодом полураспада как $$\lambda = \frac{ln2}{T_{1/2}}$$. Подставляя $$t = \frac{1}{2}T_{1/2}$$, получаем: $$N(\frac{1}{2}T_{1/2}) = N_0 \cdot e^{-\frac{ln2}{T_{1/2}} \cdot \frac{1}{2}T_{1/2}} = N_0 \cdot e^{-\frac{ln2}{2}} = N_0 \cdot e^{-0.3466} \approx 0.707 N_0$$ Доля распавшихся ядер равна: $$\frac{N_0 - N(t)}{N_0} = \frac{N_0 - 0.707N_0}{N_0} = 1 - 0.707 = 0.293$$ Таким образом, около 29.3% радиоактивных ядер распадется за время, равное половине периода полураспада.