Как изменится давление газа, если его объем уменьшится в 2 раза, а среднеквадратическая скорость его молекул уменьшится в $$\sqrt{2}$$ раз?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов, которое связывает давление газа \( P \) со средней кинетической энергией поступательного движения его молекул \( E_k \):

\[ P = \frac{2}{3} n E_k \]

где \( n \) — концентрация молекул, которая равна \( n = \frac{N}{V} \) (N — число молекул, V — объем газа).

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы связана со среднеквадратической скоростью \( v_{кв} \) следующим образом:

\[ E_k = \frac{1}{2} m v_{кв}^2 \]

где \( m \) — масса одной молекулы.

Подставим выражение для \( E_k \) в уравнение для давления:

\[ P = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \left( \frac{1}{2} m v_{кв}^2 \right) = \frac{N m v_{кв}^2}{3V} \]

Пусть начальное давление газа равно \( P_1 \), начальный объем — \( V_1 \), и начальная среднеквадратическая скорость — \( v_{кв1} \). Тогда:

\[ P_1 = \frac{N m v_{кв1}^2}{3V_1} \]

Теперь рассмотрим новое состояние газа. Объем уменьшился в 2 раза, то есть \( V_2 = \frac{V_1}{2} \). Среднеквадратическая скорость уменьшилась в $$\sqrt{2}$$ раз, то есть \( v_{кв2} = \frac{v_{кв1}}{\sqrt{2}} \). Новое давление обозначим как \( P_2 \).

Запишем уравнение для нового состояния:

\[ P_2 = \frac{N m v_{кв2}^2}{3V_2} \]

Подставим значения \( V_2 \) и \( v_{кв2} \):

\[ P_2 = \frac{N m \left( \frac{v_{кв1}}{\sqrt{2}} \right)^2}{3 \left( \frac{V_1}{2} \right)} = \frac{N m \frac{v_{кв1}^2}{2}}{3 \frac{V_1}{2}} = \frac{N m v_{кв1}^2}{2} \cdot \frac{2}{3 V_1} = \frac{N m v_{кв1}^2}{3V_1} \]

Теперь сравним \( P_2 \) и \( P_1 \):

\[ P_2 = \frac{N m v_{кв1}^2}{3V_1} \]

Как мы видим, \( P_2 = P_1 \).

Следовательно, давление газа не изменится.

Ответ: не изменится.