К произведению простых множителей Вычислите: 12^8 / 27^2 * 21^5

Решение:

Чтобы вычислить значение выражения, разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители:

1. Числитель: \( 12^8 = (2^2 \cdot 3)^8 = 2^{16} \cdot 3^8 \)
2. Знаменатель: \( 27^2 \cdot 21^5 = (3^3)^2 \cdot (3 \cdot 7)^5 = 3^6 \cdot 3^5 \cdot 7^5 = 3^{11} \cdot 7^5 \)
3. Теперь подставим разложенные множители обратно в дробь: \[ \frac{12^8}{27^2 \cdot 21^5} = \frac{2^{16} \cdot 3^8}{3^{11} \cdot 7^5} \]
4. Сократим степени с одинаковым основанием: \[ \frac{2^{16} \cdot 3^8}{3^{11} \cdot 7^5} = \frac{2^{16}}{3^{11-8} \cdot 7^5} = \frac{2^{16}}{3^3 \cdot 7^5} \]
5. Вычислим значения: \( 2^{16} = 65536 \), \( 3^3 = 27 \), \( 7^5 = 16807 \)
6. Теперь вычислим знаменатель: \( 27 \cdot 16807 = 453789 \)
7. Итоговое значение дроби: \[ \frac{65536}{453789} \]

Ответ: 65536 / 453789