К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные. Периметры отсечённых треугольников равны 11, 7, 10. Найдите периметр данного треугольника (см. рис. 196).

Пусть периметры отсечённых треугольников равны $$P_1=11$$, $$P_2=7$$, $$P_3=10$$.

Каждая касательная отсекает от треугольника подобный треугольник. Периметр исходного треугольника равен сумме периметров отсечённых треугольников и удвоенной длины средней части, которая является периметром шестиугольника, образованного точками касания.

Однако, более простым решением является то, что периметр большого треугольника равен сумме периметров трех отсеченных треугольников. Это следует из того, что каждая сторона большого треугольника состоит из двух отрезков, касательных к вписанной окружности. Эти отрезки равны соответствующим отрезкам от вершин до точек касания. Таким образом, сумма периметров отсеченных треугольников равна периметру большого треугольника.

Периметр треугольника ABC = $$11 + 7 + 10 = 28$$.