К окружности с центром в точке О проведена касательная КА, К точка касания. Длина отрезка касательной КА = 8√3 см, ∠OAK = 60°. Найдите длину окружности С.

Рассмотрим треугольник $$\triangle OKA$$. $$OK$$ - радиус окружности, $$KA$$ - касательная к окружности, проведенная в точку касания $$K$$. $$OK$$ перпендикулярна $$KA$$, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $$\triangle OKA$$ - прямоугольный, а угол $$\angle OKA = 90^{\circ}$$.

В прямоугольном треугольнике $$\triangle OKA$$ известен катет $$KA = 8\sqrt{3}$$ см и угол $$\angle OAK = 60^{\circ}$$. Найдем катет $$OK$$, который является радиусом окружности.

$$\tan \angle OAK = \frac{OK}{KA}$$

$$\tan 60^{\circ} = \frac{OK}{8\sqrt{3}}$$ $$\sqrt{3} = \frac{OK}{8\sqrt{3}}$$ $$OK = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24$$ см

Радиус окружности равен 24 см. Найдем длину окружности по формуле $$C = 2\pi R$$, где $$R$$ - радиус окружности.

$$C = 2 \cdot \pi \cdot 24 = 48\pi$$ см

Ответ: 48