К двузначному числу приписали цифру 1 сначала справа, потом слева, получились два числа, разность которых равна 234. Найдите это двузначное число.

Решение:

Пусть искомое двузначное число равно \( 10a + b \), где \( a \) — цифра десятков, \( b \) — цифра единиц. \( a \in \{1, 2, ..., 9\} \), \( b \in \{0, 1, ..., 9\} \).

1. Приписываем цифру 1 справа:

Получаем число \( 10(10a + b) + 1 = 100a + 10b + 1 \).

2. Приписываем цифру 1 слева:

Получаем число \( 1 · 100 + (10a + b) = 100 + 10a + b \).

3. Находим разность этих чисел.

Возможны два случая:

Случай 1: \( (100a + 10b + 1) - (100 + 10a + b) = 234 \)

\( 100a + 10b + 1 - 100 - 10a - b = 234 \)

\( 90a + 9b - 99 = 234 \)

\( 90a + 9b = 234 + 99 \)

\( 90a + 9b = 333 \)

Разделим обе части на 9:

\( 10a + b = 37 \)

В этом случае искомое число равно 37. Проверим: приписываем 1 справа: 371. Приписываем 1 слева: 137. Разность: \( 371 - 137 = 234 \). Условие выполнено.

Случай 2: \( (100 + 10a + b) - (100a + 10b + 1) = 234 \)

\( 100 + 10a + b - 100a - 10b - 1 = 234 \)

\( 99 - 90a - 9b = 234 \)

\( -90a - 9b = 234 - 99 \)

\( -90a - 9b = 135 \)

\( 90a + 9b = -135 \)

\( 10a + b = -15 \)

Так как \( 10a + b \) — это двузначное число, оно не может быть отрицательным. Этот случай не имеет решения.

Ответ: 37.