К-4. ДВИЖЕНИЕ 1. Даны точки A(-2; -1), B(1; 2), C(2; 0). Постройте на четырех различных чертежах: а) отрезок А1В1, симметричный от- резку АВ относительно точки С; б) отрезок А2С2, симметричный от- резку АС относительно оси АВ; в) отрезок АзВз, который получает- ся параллельным переносом от- резка АВ на вектор АС; г) отрезок А4C4, который получается поворотом отрезка АС вокруг точки В на 90° против часовой стрелки. Укажите координаты точек А1, В1, А2, С2, Аз, Вз, А4, С4. 2. Каким условиям должны удовле- творять два квадрата, два равносторонних тре- угольника, чтобы один из них можно было полу- чить из другого при помощи парал- лельного переноса? 3. Докажите, что при повороте правильного треугольника вокруг его центра на 240° треугольник на себя. отображается квадрата вокруг точки пере- сечения его диагоналей на 270° квадрат отображается на себя.

Краткое пояснение:

Решение:

1. Построение и координаты точек для варианта А1:

а) Отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно точки C:

• Чтобы найти координаты точек A₁ и B₁, нужно найти такие точки, чтобы C была серединой отрезков AA₁ и BB₁.
• Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка.
• A(-2; -1), B(1; 2), C(2; 0)

Для точки A₁:

• \(x_C = \frac{x_A + x_{A_1}}{2}\)
• \(2 = \frac{-2 + x_{A_1}}{2}\)
• \(4 = -2 + x_{A_1}\)
• \(x_{A_1} = 6\)

• \(y_C = \frac{y_A + y_{A_1}}{2}\)
• \(0 = \frac{-1 + y_{A_1}}{2}\)
• \(0 = -1 + y_{A_1}\)
• \(y_{A_1} = 1\)

A₁(6; 1)

Для точки B₁:

• \(x_C = \frac{x_B + x_{B_1}}{2}\)
• \(2 = \frac{1 + x_{B_1}}{2}\)
• \(4 = 1 + x_{B_1}\)
• \(x_{B_1} = 3\)

• \(y_C = \frac{y_B + y_{B_1}}{2}\)
• \(0 = \frac{2 + y_{B_1}}{2}\)
• \(0 = 2 + y_{B_1}\)
• \(y_{B_1} = -2\)

B₁(3; -2)

б) Отрезок A₂C₂, симметричный отрезку AC относительно оси AB:

• Чтобы найти координаты точек A₂ и C₂, нужно отразить точки A и C относительно прямой AB.
• A(-2; -1), B(1; 2), C(2; 0)

Точка A лежит на оси AB, поэтому A₂ = A, то есть A₂(-2; -1).

Чтобы найти координаты C₂, нужно найти уравнение прямой AB и выполнить отражение точки C относительно этой прямой.

Уравнение прямой AB: \(y = kx + b\)

Подставим координаты точек A и B:

• \(-1 = -2k + b\)
• \(2 = k + b\)

Выразим b из второго уравнения: \(b = 2 - k\)

Подставим в первое уравнение: \(-1 = -2k + 2 - k\)

• \(-3 = -3k\)
• \(k = 1\)

Тогда \(b = 2 - 1 = 1\)

Уравнение прямой AB: \(y = x + 1\)

Для точки C(2; 0) отраженная точка C₂(x'; y') вычисляется по формулам:

• \(x' = x - \frac{2a(ax + by + c)}{a^2 + b^2}\)
• \(y' = y - \frac{2b(ax + by + c)}{a^2 + b^2}\)

В нашем случае прямая AB: \(x - y + 1 = 0\), то есть a = 1, b = -1, c = 1

• \(x' = 2 - \frac{2 \cdot 1 (1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 1)}{1^2 + (-1)^2} = 2 - \frac{2 \cdot 3}{2} = 2 - 3 = -1\)
• \(y' = 0 - \frac{2 \cdot (-1) (1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 1)}{1^2 + (-1)^2} = 0 + \frac{2 \cdot 3}{2} = 3\)

C₂(-1; 3)

в) Отрезок A₃B₃, который получается параллельным переносом отрезка AB на вектор AC:

• A(-2; -1), B(1; 2), C(2; 0)

Вектор AC имеет координаты: \(AC = (2 - (-2); 0 - (-1)) = (4; 1)\)

Чтобы найти координаты точек A₃ и B₃, нужно к координатам точек A и B прибавить координаты вектора AC.

• \(A_3 = A + AC = (-2 + 4; -1 + 1) = (2; 0)\)
• \(B_3 = B + AC = (1 + 4; 2 + 1) = (5; 3)\)

A₃(2; 0), B₃(5; 3)

г) Отрезок A₄C₄, который получается поворотом отрезка AC вокруг точки B на 90° против часовой стрелки:

• A(-2; -1), B(1; 2), C(2; 0)

Сначала найдем координаты вектора BA и BC:

• \(BA = A - B = (-2 - 1; -1 - 2) = (-3; -3)\)
• \(BC = C - B = (2 - 1; 0 - 2) = (1; -2)\)

Поворот на 90° против часовой стрелки преобразует вектор (x; y) в (-y; x).

Повернутый вектор BA: (-(-3); -3) = (3; -3)

Повернутый вектор BC: (-(-2); 1) = (2; 1)

Теперь найдем координаты точек A₄ и C₄:

• \(A_4 = B + (3; -3) = (1 + 3; 2 - 3) = (4; -1)\)
• \(C_4 = B + (2; 1) = (1 + 2; 2 + 1) = (3; 3)\)

A₄(4; -1), C₄(3; 3)

2. Условия для двух квадратов и двух равносторонних треугольников:

• Два квадрата могут быть получены один из другого параллельным переносом, если они равны и имеют одинаковую ориентацию.
• Два равносторонних треугольника могут быть получены один из другого параллельным переносом, если они равны и имеют одинаковую ориентацию.

3. Доказательство:

• При повороте правильного треугольника вокруг его центра на 240°, треугольник отображается на себя, так как 240° это дважды 120°, а поворот на 120° отображает треугольник на себя.
• При повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на 270°, квадрат отображается на себя, так как 270° это трижды 90°, а поворот на 90° отображает квадрат на себя.