4. Известно, что ВС || AD, BF = = DE, ∠AED = ∠CFB (рис. 80). Докажите, что АВ || CD.

Смотри, тут всё просто: нужно доказать, что AB || CD. Логика такая:

1. Рассмотрим рисунок 80.
2. Так как BC || AD, то углы ∠EAD и ∠FCB равны как соответственные углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.
3. Так как BF = DE, то AF = AD - DF и CE = BC - BE. Но AD = BC, BF = DE, следовательно, AD - DF = BC - BE, значит, AF = CE.
4. Рассмотрим треугольники AED и CFB: AE = CF (по условию), ∠EAD = ∠FCB (доказано выше), ∠AED = ∠CFB (по условию).
5. Следовательно, треугольники AED и CFB равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует, что AD = BC и AE = CF.
7. Рассмотрим треугольники AEO и CFO. ∠AEO = ∠CFO (дано), AE = CF (доказано выше), ∠EAO = ∠FCO (как соответственные при AD || BC и секущей AC).
8. Треугольники AEO и CFO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AO = CO и EO = FO.
9. Рассмотрим треугольники AOB и COD. AO = CO, BO = DO (так как BD = BO + OD, AF = AO + OF, а BD = AF и AO = OF).
10. Углы ∠AOB и ∠COD равны как вертикальные.
11. Следовательно, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними.
12. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠BAO = ∠DCO.
13. Эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AO.
14. Следовательно, AB || CD.

Доказано, что AB || CD.

Проверка за 10 секунд: Визуально оцени параллельность прямых AB и CD на рисунке.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Использование равенства треугольников – мощный инструмент в геометрических доказательствах.