Известно, что tg α = 3, tg (α + β) = 1, найдите: tg β Экзаменационный билет № 10

Решение:

Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

\[ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta} \]

Подставим известные значения:

\[ 1 = \frac{3 + \text{tg}\beta}{1 - 3 \cdot \text{tg}\beta} \]

Умножим обе части уравнения на знаменатель \( 1 - 3 \cdot \text{tg}\beta \):

\[ 1 \cdot (1 - 3 \cdot \text{tg}\beta) = 3 + \text{tg}\beta \]

Раскроем скобки:

\[ 1 - 3 \cdot \text{tg}\beta = 3 + \text{tg}\beta \]

Перенесём все члены с \( \text{tg}\beta \) в одну сторону, а числовые значения — в другую:

\[ -3 \cdot \text{tg}\beta - \text{tg}\beta = 3 - 1 \]

Приведём подобные члены:

\[ -4 \cdot \text{tg}\beta = 2 \]

Разделим обе части на -4, чтобы найти \( \text{tg}\beta \):

\[ \text{tg}\beta = \frac{2}{-4} \]

Упростим дробь:

\[ \text{tg}\beta = -\frac{1}{2} \]

Ответ: tg β = -0.5.