Известно, что ∠KMN = ∠KNM, KN − MN = 7, периметр треугольника KMN равен 38. Найдите длину отрезка MN.

Так как \(\angle KMN = \angle KNM\), то стороны, лежащие напротив этих углов, равны: \(KN = KM\).

Пусть \(MN = x\). Тогда по условию \(KN = x + 7\) и \(KM = x + 7\).

Составим уравнение по формуле периметра:

\[x + (x + 7) + (x + 7) = 38\]

\[3x + 14 = 38, \quad 3x = 24, \quad x = 8\]

Ответ: 8.