Известно, что для знакочередующегося ряда \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n b_n\) выполнены оба условия признака Лейбница: \( b_{n+1} < b_n \) и \( \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \). При этом ряд из модулей \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) расходится. Каков характер сходимости исходного знакочередующегося ряда?

Решение:

Задано знакочередующийся ряд \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n b_n\).

Известно, что выполнены условия признака Лейбница:

• \( b_{n+1} < b_n \) (последовательность \(b_n\) убывает).
• \( \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \) (предел последовательности \(b_n\) равен 0).

Согласно признаку Лейбница, знакочередующийся ряд сходится, если выполняются оба эти условия.

Также дано, что ряд из модулей \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) расходится.

Если ряд сходится, но ряд из модулей расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Таким образом, исходный знакочередующийся ряд сходится условно.

Ответ: д. Ряд сходится условно.