5. Известно, что BC || AD, BF = DE, ∠AED = ∠CFB (рис. 279). Докажите, что АВ || CD.

Дано: BC || AD, BF = DE, \(\angle AED = \angle CFB\). Доказать: AB || CD. Доказательство: 1. Так как BF = DE, то BF + FE = DE + FE, то есть BE = DF. 2. Так как BC || AD, то \(\angle CBE = \angle ADE\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AE. 3. \(\angle AED = \angle CFB\), тогда \(\angle AEB = \angle CFD\) (смежные углы). 4. Рассмотрим \(\triangle AEB\) и \(\triangle CFD\). BE = DF (по доказанному), \(\angle AEB = \angle CFD\), \(\angle CBE = \angle ADE\). Следовательно, \(\triangle AEB = \triangle CFD\) (по стороне и двум прилежащим углам). 5. Из равенства треугольников следует, что AE = CF. 6. Рассмотрим четырехугольник ABCD. BC || AD (по условию), AE = CF (по доказанному). 7. Четырехугольник ABCD - параллелограмм, следовательно, AB || CD. Что и требовалось доказать.