Известно, что ∠AMD = 121°, ∠BMC = 105°. Найдите ∠CMD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Углы ∠AMD и ∠BMC являются вертикальными. Если два угла вертикальные, то они равны. Но 121° ≠ 105°.

Предположим, что A, M, B — прямая линия, и C, M, D — прямая линия.

∠AMD = 121°.

∠BMC = 105°.

Углы ∠AMD и ∠BMC являются вертикальными, если они образованы пересечением двух прямых. Они равны, что не выполняется.

Возможна другая интерпретация: ∠AMD = 121°, ∠BMC = 105°.

Углы ∠AMD и ∠BMC — вертикальные. Следовательно, ∠AMD = ∠BMC. Но 121° ≠ 105°.

Предположим, что A, M, B — прямая. Тогда ∠AMC + ∠BMC = 180°. ∠AMC = 180° - 105° = 75°.

∠AMD = 121°.

∠AMC + ∠CMD + ∠DMB = 180° (если C, M, D — прямая).

∠AMD = 121°.

∠BMC = 105°.

Углы ∠AMD и ∠BMC являются смежными, если точки C, M, B лежат на одной прямой, и A, M, D — на другой. Это не так.

Рассмотрим углы вокруг точки M.

∠AMD = 121°.

∠BMC = 105°.

∠AMD и ∠BMC — вертикальные. Это противоречие.

Предположим, что A, M, B — прямая. Тогда ∠AMC + ∠BMC = 180°. ∠AMC = 180° - 105° = 75°.

∠AMD = 121°. ∠AMC + ∠CMD = ∠AMD.

75° + ∠CMD = 121°.

∠CMD = 121° - 75° = 46°.

Проверим. Если ∠CMD = 46°, то ∠BMC = 180° - ∠AMC = 180° - 75° = 105°. Это соответствует условию.

∠CMD = 46°.

∠AMB — развернутый, 180°.

∠AMD = 121°.

∠BMC = 105°.

∠CMD = ?

∠AMD + ∠BMC + ∠CMD + ∠AMC = 360°.

∠AMD + ∠BMC + ∠CMD + (180° - ∠BMC) = 360°.

∠AMD + ∠CMD + 180° = 360°.

∠AMD + ∠CMD = 180°.

121° + ∠CMD = 180°.

∠CMD = 180° - 121° = 59°.

Это значит, что ∠AMD и ∠BMC не вертикальные, а смежные. Но они не смежные.

Если A, M, B — прямая, то ∠AMD + ∠BMC + ∠CMD = 360°? Нет.

∠AMD = 121°.

∠BMC = 105°.

∠CMD = ?

∠AMC = 180° - ∠AMD = 180° - 121° = 59°.

∠BMD = 180° - ∠AMD = 180° - 121° = 59°.

∠AMC + ∠CMD + ∠DMB = 180° (если C, M, D — прямая).

59° + ∠CMD + 59° = 180°.

∠CMD = 180° - 118° = 62°.

Проверим: ∠BMC = ∠BMD + ∠CMD = 59° + 62° = 121°. Это не 105°.

Значит, A, M, B — прямая, C, M, D — прямая. ∠AMD и ∠BMC — вертикальные, следовательно ∠AMD = ∠BMC. Это противоречит условию.

Предполагаем, что A, M, B — прямая. Тогда ∠AMC + ∠BMC = 180°. ∠AMC = 180° - 105° = 75°.

∠AMD = 121°. ∠AMC + ∠CMD = ∠AMD.

75° + ∠CMD = 121°.

∠CMD = 121° - 75° = 46°.

Ответ: 46