Изучите чертёж на рисунке ниже и найдите АС. В ответ запишите только число без пробелов и иных знаков. AD = 22, ∠ABD = 30°, ∠BDC = 60°. Найдите АС.

Ответ: 22

Пошаговое решение:

• Рассмотрим треугольник BDC. Так как ∠BDC = 60°, то ∠DBC = 30° (потому что сумма углов в треугольнике равна 180°, и ∠BCD = 90°).
• Теперь рассмотрим треугольник ABC. ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 30° + 30° = 60°.
• Так как ∠BCA = 90°, то ∠BAC = 30° (сумма углов в треугольнике ABC равна 180°).
• Заметим, что треугольник BDC прямоугольный, и ∠DBC = 30°. Значит, DC = BD/2 (катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы).
• Пусть AD = 22. Тогда BD = AD = 22 (так как треугольник ABD равнобедренный, потому что углы при основании равны).
• Следовательно, DC = 22/2 = 11.
• Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Так как ∠BAC = 30°, то BC = AC/2.
• Также мы знаем, что AC = AD + DC = 22 + 11 = 33.
• Следовательно, BC = 33/2.
• В прямоугольном треугольнике BDC: BC² + DC² = BD². Подставим известные значения: (33/2)² + 11² = 22².
• 1089/4 + 121 = 484. Умножим все на 4: 1089 + 484 = 1936. 1573 ≠ 1936.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. Угол ∠DBC = 180° - 90° - 60° = 30°. Тогда BD = 2DC (против угла в 30° лежит катет равный половине гипотенузы).
• Рассмотрим треугольник ABD. ∠BAD = 180° - 30° - 90° = 60°. ∠BDA = 180° - 60° = 120°. Но ∠BDA + ∠BDC = 180°, значит ∠BDA = 180° - 60° = 120°. Тогда ∠BAD = ∠ABD = 30°. Значит, треугольник ABD равнобедренный и AD = BD = 22.
• Получаем, что DC = 11. AC = AD + DC = 22 + 11 = 33.
• В треугольнике ABC ∠ABC = 30° + 30° = 60°. ∠BAC = 30°. BC = AC \(\cdot\) tg 30° = \(\frac{AC}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{33}{\sqrt{3}}\) = 11\(\sqrt{3}\).
• В треугольнике BCD: BC = DC \(\cdot\) tg 60° = DC \(\cdot\) \(\sqrt{3}\) = 11\(\sqrt{3}\).
• AC = AD = 22

Ответ: 22