Изобразите график функции y = \( \begin{cases} x^2 - 10x + 25 & \text{при } x \ge 4 \\ x - 2 & \text{при } x < 4 \end{cases} \). Определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

График данной функции состоит из двух частей:

1. Парабола \( y = x^2 - 10x + 25 \) при \( x \ge 4 \). Это ветвь параболы \( y = (x-5)^2 \) с вершиной в точке \( (5; 0) \). При \( x=4 \) значение \( y = (4-5)^2 = 1 \). Таким образом, эта часть графика начинается в точке \( (4; 1) \) и идет вверх.
2. Прямая \( y = x - 2 \) при \( x < 4 \). При \( x=4 \) значение \( y = 4 - 2 = 2 \). Точка \( (4; 2) \) не включается в график, но является граничной. При \( x=0 \) значение \( y = -2 \).

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Она будет иметь ровно одну общую точку с графиком в следующих случаях:

• Когда \( m \) равно значению функции в точке \( x=4 \) для параболы, то есть \( m=1 \).
• Когда \( m \) равно значению функции в точке \( x=4 \) для прямой, но не включая ее, то есть \( m \) стремится к 2, но \( m < 2 \).
• Когда \( m \) равно значению вершины параболы, то есть \( m=0 \).
• Когда \( m \) равно значению \( y \) при \( x=4 \) для прямой, которое равно \( 2 \), но сама точка \( (4;2) \) не включается.

Рассмотрим более внимательно:

1. Линия \( y = m \) пересекает параболу \( y = (x-5)^2 \) при \( x \ge 4 \). Вершина параболы \( (5;0) \), поэтому при \( m=0 \) будет одна точка пересечения.
2. Линия \( y = m \) пересекает ветвь параболы, начинающуюся в точке \( (4;1) \). Если \( m=1 \), то это точка \( (4;1) \).
3. Линия \( y = m \) пересекает прямую \( y = x-2 \) при \( x < 4 \). Эта прямая проходит через точки \( (0;-2) \), \( (2;0) \), \( (4;2) \). Если \( m < 2 \), то прямая \( y = m \) пересечет прямую \( y = x-2 \) в одной точке.

Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком, когда:

• \( m=0 \) (вершина параболы).
• \( m=1 \) (начало ветви параболы).
• \( m < 2 \) (пересечение с прямой \( y = x-2 \) для \( x < 4 \)).

График построен. Прямая \( y = m \) имеет ровно одну общую точку с графиком, когда \( m=0 \) (вершина параболы), \( m=1 \) (точка \( (4;1) \)), или когда \( m < 2 \) (пересечение с прямой \( y = x-2 \) при \( x < 4 \)).

Ответ: \( m = 0 \) или \( m = 1 \) или \( m < 2 \).