Из вершины угла <АВС проведен луч BD так, что ∠ABD: 2 DBC = 3:8. Найдите углы ∠ABD, 2DBC и ∠ABC, если угол ∠ABD меньше угла ∠DBC на 65°.

Решение:

Обозначим величины углов \( ∠ \text{ABD} \) и \( ∠ \text{DBC} \) через \( 3x \) и \( 8x \).

1. Дано: \( ∠ \text{ABD}:∠ \text{DBC} = 3:8 \), \( ∠ \text{ABD} = ∠ \text{DBC} - 65^{\circ} \).
2. Найти: \( ∠ \text{ABD, }∠ \text{DBC, }∠ \text{ABC} \).
3. Составим уравнение, исходя из условия: \( 3x = 8x - 65^{\circ} \)
4. Решим уравнение: \( 5x = 65^{\circ} \Rightarrow x = \frac{65^{\circ}}{5} = 13^{\circ} \).
5. Найдём величины углов:
• \( ∠ \text{ABD} = 3x = 3 \cdot 13^{\circ} = 39^{\circ} \).
• \( ∠ \text{DBC} = 8x = 8 \cdot 13^{\circ} = 104^{\circ} \).
• \( ∠ \text{ABC} = ∠ \text{ABD} + ∠ \text{DBC} = 39^{\circ} + 104^{\circ} = 143^{\circ} \).

Ответ: ∠ABD = 39°, ∠DBC = 104°, ∠ABC = 143°.