23. Из вершины прямого угла В треугольника АВС проведена высота ВН , которая делит гипо- тенузу треугольника на отрезки АН = 7, HC = 56 . Найдите АВ.

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и высоты, проведённой из прямого угла.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B и высотой BH, проведённой к гипотенузе AC.
2. Известно, что AH = 7 и HC = 56.
3. Требуется найти длину AB.
4. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, высота, проведённая из прямого угла, образует два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику.
5. В данном случае, треугольник ABH подобен треугольнику ABC.
6. Следовательно, можно записать пропорцию, используя подобие треугольников ABH и ABC:
   $$\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AB}$$
7. Из этой пропорции следует:
   $$AB^2 = AH \cdot AC$$
8. Из условия задачи известно, что AH = 7 и HC = 56, тогда AC = AH + HC = 7 + 56 = 63.
9. Подставим известные значения в уравнение:
   $$AB^2 = 7 \cdot 63$$
   $$AB^2 = 441$$
10. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
    $$AB = \sqrt{441}$$
    $$AB = 21$$

Ответ: 21