Из урны, содержащей 5 красных и 3 зеленых шара, наудачу извлекаются три шара. Какова вероятность того, что будут извлечены два красных шара и один зеленый?

Дано:

• Общее количество шаров: 5 красных + 3 зеленых = 8 шаров.
• Извлекается: 3 шара.
• Требуется найти вероятность того, что будет извлечено 2 красных и 1 зеленый шар.

Решение:

Эта задача решается с использованием формулы комбинаторики.

1. Общее количество способов выбрать 3 шара из 8:
   Это число сочетаний из 8 по 3, обозначаемое как $$C_8^3$$.
   \[ C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56 \]
2. Количество способов выбрать 2 красных шара из 5:
   Это число сочетаний из 5 по 2, обозначаемое как $$C_5^2$$.
   \[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]
3. Количество способов выбрать 1 зеленый шар из 3:
   Это число сочетаний из 3 по 1, обозначаемое как $$C_3^1$$.
   \[ C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3}{1} = 3 \]
4. Количество благоприятных исходов (2 красных и 1 зеленый):
   Это произведение способов выбора красных и зеленых шаров: $$C_5^2 \times C_3^1$$.
   \[ 10 \times 3 = 30 \]
5. Вероятность события:
   Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
   \[ P(\text{2 красных, 1 зеленый}) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{30}{56} \]
6. Упрощение дроби:
   \[ \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \]

Ответ: $$\frac{15}{28}$$