1. Из центра О квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости проведен перпендикуляр ОМ длиной 12 см. Найдите площадь треугольника АВМ.

1. Рассмотрим квадрат ABCD со стороной 18 см. Точка O - центр квадрата, следовательно, AO = BO = CO = DO, как половины диагоналей квадрата.

Найдем диагональ квадрата AC по теореме Пифагора:

$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{18^2 + 18^2} = \sqrt{2 \cdot 18^2} = 18\sqrt{2} \text{ см}$$.

Тогда $$AO = BO = \frac{AC}{2} = \frac{18\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} \text{ см}$$.

Рассмотрим треугольник AOM, он прямоугольный, так как OM перпендикулярна плоскости квадрата ABCD. По теореме Пифагора найдем AM:

$$AM = \sqrt{AO^2 + OM^2} = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 + 12^2} = \sqrt{162 + 144} = \sqrt{306} = 3\sqrt{34} \text{ см}$$.

Аналогично, треугольник BOM прямоугольный, и BM = AM = $$3\sqrt{34} \text{ см}$$.

Теперь рассмотрим треугольник ABM. Известны три стороны: AB = 18 см, AM = BM = $$3\sqrt{34} \text{ см}$$. Найдем площадь треугольника ABM. Проведем высоту MH к стороне AB. Так как AM = BM, то треугольник ABM - равнобедренный, и высота MH является также медианой, следовательно, AH = HB = 9 см.

Рассмотрим треугольник AMH, он прямоугольный. По теореме Пифагора найдем MH:

$$MH = \sqrt{AM^2 - AH^2} = \sqrt{(3\sqrt{34})^2 - 9^2} = \sqrt{306 - 81} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$.

Теперь найдем площадь треугольника ABM:

$$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 15 = 9 \cdot 15 = 135 \text{ см}^2$$.

Ответ: 135 см²