Из точки окружности проведены диаметр и хорда. Длина хорды равна 30 см, а ее проекция на диаметр меньше радиуса окружности на 7 см. Найдите радиус окружности.

Дано:

• Хорда c = 30 см
• Проекция хорды на диаметр p
• Радиус окружности R
• p = R - 7 см

Найти: R

Решение:

1. Обозначим
• Пусть R — радиус окружности.
• Тогда диаметр D = 2R.
• Длина хорды c = 30 см.
• Проекция хорды на диаметр p = R - 7 см.
2. Используем теорему о проекции хорды:
• Квадрат длины хорды равен разности квадратов диаметра и проекции хорды на диаметр: c² = D² - p².
• Подставим известные значения: 30² = (2R)² - (R - 7)².
3. Решаем уравнение:
• 900 = 4R² - (R² - 14R + 49)
• 900 = 4R² - R² + 14R - 49
• 900 = 3R² + 14R - 49
• 3R² + 14R - 49 - 900 = 0
• 3R² + 14R - 949 = 0
4. Находим дискриминант:
• D = b² - 4ac = 14² - 4 * 3 * (-949) = 196 + 11388 = 11584
• √D = √11584 = 107.63
5. Находим радиус:
• R₁ = (-14 + 107.63) / (2 * 3) = 93.63 / 6 ≈ 15.605
• R₂ = (-14 - 107.63) / (2 * 3) = -121.63 / 6 (отрицательный корень, не подходит)
6. Проверка:
• Если R ≈ 15.605 см, то p = 15.605 - 7 = 8.605 см.
• D = 2 * 15.605 = 31.21 см.
• c² = 30² = 900.
• D² - p² = 31.21² - 8.605² ≈ 974.0441 - 74.046025 ≈ 900.
• Значения сходятся.

Ответ: Радиус окружности составляет приблизительно 15.61 см.