1. Из точки О пересечения диагоналей ромба ABCD проведён перпендикуляр ОМ к его плоскости. Докажите, что BDMC.

Решение: Поскольку ABCD - ромб, его диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Так как OM перпендикулярен плоскости ромба (ABCD), то OM перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности OM перпендикулярен BD и AC. Рассмотрим прямую MC. Прямая MC лежит в плоскости, определяемой точками M, O и C. Так как OM перпендикулярен AC, а AC перпендикулярен BD (по свойству ромба), и OM перпендикулярен BD (так как OM перпендикулярен плоскости ABCD), то можно сказать, что BD перпендикулярен плоскости MOC. Следовательно, BD перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости MOC, в частности BD перпендикулярен MC. Таким образом, мы доказали, что BD ⊥ MC.