Из точки Н проведены перпендикуляры ЕН, FH и GH к сторонам треугольника KLM. Они оказались равными друг другу. Периметр треугольника равен 70, а сторона LM разделена на два отрезка с известными длинами: FL = 8, FM = 15. Найдите длины сторон треугольника.

Поскольку перпендикуляры из точки H к сторонам треугольника равны, точка H является центром вписанной окружности. Следовательно, отрезки касательных, проведенных из вершины к окружности, равны. Таким образом, KE = KG, LE = LH, MF = MG. Из условия FL = 8 и FM = 15, следует, что LM = FL + FM = 8 + 15 = 23. Так как MF = MG = 15, то GM = 15. Так как FL = LE = 8, то LE = 8. Периметр треугольника равен KL + LM + KM = 70. Подставляя известные значения, получаем KL + 23 + KM = 70, откуда KL + KM = 47. Так как KE = KG и LE = 8, а GM = 15, то KL = KE + EL = KE + 8 и KM = KG + GM = KE + 15. Подставляя это в уравнение KL + KM = 47, получаем (KE + 8) + (KE + 15) = 47. Решая для KE, получаем 2*KE + 23 = 47, 2*KE = 24, KE = 12. Тогда KL = KE + 8 = 12 + 8 = 20. KM = KE + 15 = 12 + 15 = 27. Проверка: KL + LM + KM = 20 + 23 + 27 = 70.