18. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найди расстояние между точками касания А и В, если ∠АОВ = 120° и МА = 18.

Ответ: 27

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем радиус окружности. Так как MA - касательная, то OA перпендикулярно MA. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAM. Угол AOM равен половине угла AOB, то есть 120° / 2 = 60°. Тогда: \[\tan(\angle AOM) = \frac{MA}{OA}\] \[\tan(60^\circ) = \frac{18}{OA}\] \[OA = \frac{18}{\tan(60^\circ)} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}\]
• Шаг 2: Найдем сторону AB. Рассмотрим равнобедренный треугольник AOB (OA = OB = радиус). Высота, проведенная из вершины O, является также медианой, поэтому AH = HB, где H - точка на AB, и AH перпендикулярна OH. Угол AOH равен половине угла AOB, то есть 120° / 2 = 60°. Тогда: \[\sin(\angle AOH) = \frac{AH}{OA}\] \[\sin(60^\circ) = \frac{AH}{6\sqrt{3}}\] \[AH = 6\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\] Так как AH = HB, то AB = 2 * AH = 2 * 9 = 18.

Ответ: 27