Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B, если \(\angle\) AOB = 120° и MO = 8.

Решение:

Введём обозначения:

• \( R \) — радиус окружности.
• \( OA \) и \( OB \) — радиусы, проведённые в точки касания.
• \( OA \perp MA \) и \( OB \perp MB \).
• \( \triangle OMA \) и \( \triangle OMB \) — прямоугольные треугольники.

Рассмотрим \( \triangle OMA \):

• \( \angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60° \).
• В прямоугольном \( \triangle OMA \) с углом \( 60° \), катет \( OA \) (радиус \( R \)) равен половине гипотенузы \( MO \):

\[ \cos(60°) = \frac{OA}{MO} \]\[ \frac{1}{2} = \frac{R}{8} \]\[ R = 4 \text{ (радиус окружности)} \]\[ \sin(60°) = \frac{MA}{MO} \]\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{MA}{8} \]\[ MA = 4\sqrt{3} \text{ (длина касательной)} \]\[ OA = 4 \]

Рассмотрим \( \triangle OAB \):

• Это равнобедренный треугольник, так как \( OA = OB = R \).
• Проведём высоту \( OH \) из \( O \) к стороне \( AB \). В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой.
• \( H \) — середина \( AB \), \( OH \perp AB \).
• \( \angle AOH = \angle BOH = \frac{1}{2} \angle AOB = 60° \).
• В \( \triangle OHA \) (прямоугольный):

\[ \sin(60°) = \frac{AH}{OA} \]\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AH}{4} \]\[ AH = 2\sqrt{3} \]\[ AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]

Ответ: \( 4\sqrt{3} \text{}. \)