Из точки К к плоскости а проведены две наклонные. Найдите расстояние от точки К до плоскости а, если длины этих наклонных 10 см и 17 см, а разность их проекций равна 9 см.

Пусть дана точка К, из которой к плоскости α проведены две наклонные КА и КВ, а также перпендикуляр КО.

Пусть проекции наклонных КА и КВ на плоскость α – это отрезки ОА и ОВ соответственно.

Дано: КА = 10 см, КВ = 17 см, |ОА - ОВ| = 9 см.

Найти: КО.

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник KОА. По теореме Пифагора:

$$KO^2 + OA^2 = KA^2$$

$$KO^2 + OA^2 = 10^2$$

$$KO^2 + OA^2 = 100$$

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник KОВ. По теореме Пифагора:

$$KO^2 + OB^2 = KB^2$$

$$KO^2 + OB^2 = 17^2$$

$$KO^2 + OB^2 = 289$$

3) Выразим ОА через ОВ, учитывая, что |ОА - ОВ| = 9 см.

Пусть ОВ = х, тогда ОА = х + 9 (рассмотрим случай, когда ОА > ОВ).

4) Подставим полученное выражение в первое уравнение:

$$KO^2 + (x + 9)^2 = 100$$

$$KO^2 + x^2 + 18x + 81 = 100$$

$$KO^2 + x^2 + 18x = 19$$

5) Подставим ОВ = х во второе уравнение:

$$KO^2 + x^2 = 289$$

6) Выразим $$KO^2$$ из второго уравнения и подставим в первое:

$$KO^2 = 289 - x^2$$

$$289 - x^2 + x^2 + 18x = 19$$

$$18x = -270$$

$$x = 15$$

7) Найдем КО:

$$KO^2 = 289 - x^2 = 289 - 15^2 = 289 - 225 = 64$$

$$KO = \sqrt{64} = 8$$

Если бы мы рассмотрели случай, когда OB > OA, то есть OB = x + 9, OA = x, мы пришли бы к тем же результатам, но с заменой OA и OB.

Ответ: 8