Из точки F вне окружности проведены две секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках А и В (А между F и В), вторая в точках C и D (C между F и D). Хорды окружности AD и BC пересекаются в точке Е. Найдите градусную меру угла BFD, если ∠BED = 86° и ~AC : ~BD = 1:3.

Решение:

• Обозначим \( \stackrel{\smile}{AC} = x \), тогда \( \stackrel{\smile}{BD} = 3x \).
• Угол \( \angle BED \) является внутренним углом треугольника, образованного пересечением двух хорд, и равен полусумме дуг, между которыми заключен, то есть: \[\angle BED = \frac{1}{2} (\stackrel{\smile}{AC} + \stackrel{\smile}{BD})\] Подставим известные значения: \[86 = \frac{1}{2} (x + 3x)\] \[86 = \frac{1}{2} (4x)\] \[86 = 2x\] \[x = 43^{\circ}\] Значит, \( \stackrel{\smile}{AC} = 43^{\circ} \), а \( \stackrel{\smile}{BD} = 3 \cdot 43^{\circ} = 129^{\circ} \).
• Угол \( \angle BFD \) является углом между секущими, проведенными из одной точки вне окружности, и равен полуразности дуг, заключенных между ними: \[\angle BFD = \frac{1}{2} (\stackrel{\smile}{BD} - \stackrel{\smile}{AC})\] Подставим значения: \[\angle BFD = \frac{1}{2} (129^{\circ} - 43^{\circ})\] \[\angle BFD = \frac{1}{2} (86^{\circ})\] \[\angle BFD = 43^{\circ}\]

Ответ: \( \angle BFD = 43^{\circ} \)