Из точки А вне окружности проведена касательная АВ и секущая AD, как показано на картинке. Найдите длину отрезка АС, если CD=5, а длина отрезка касательной равна 6 \sqrt{2} .

Пусть AC = x, тогда AD = AC + CD = x + 5.

По теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки вне окружности, имеем:

$$AB^2 = AC \cdot AD$$

Подставим известные значения:

$$(6\sqrt{2})^2 = x(x + 5)$$ $$36 \cdot 2 = x^2 + 5x$$ $$72 = x^2 + 5x$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2 + 5x - 72 = 0$$

Найдем дискриминант D:

$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 25 + 288 = 313$$

Тогда корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{313}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{313}}{2}$$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то берем положительный корень:

$$AC = x = \frac{-5 + \sqrt{313}}{2}$$

Так как $$\sqrt{313} \approx 17.69$$, то $$AC \approx \frac{-5 + 17.69}{2} = \frac{12.69}{2} \approx 6.35$$

Проверим, если в условии задачи опечатка и длина отрезка касательной равна просто 6, то

$$(6)^2 = x(x + 5)$$ $$36 = x^2 + 5x$$ $$x^2 + 5x - 36 = 0$$

Найдем дискриминант D:

$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$

Тогда корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то берем положительный корень:

$$AC = x = 4$$

Ответ: $$\frac{-5 + \sqrt{313}}{2}$$ или 4, если длина касательной 6.