Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шел со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сделал в пути получасовую остановку.

Решение:

Пусть \( v_A \) — скорость пешехода из пункта А, а \( v_B \) — скорость пешехода из пункта В. Расстояние между пунктами А и В равно 19 км.

Пешеходы встретились в 9 км от А. Это означает, что пешеход из А прошел 9 км, а пешеход из В прошел \( 19 - 9 = 10 \) км.

Пусть \( t \) — время в пути, которое затратили пешеходы до момента встречи, без учета остановки пешехода из А.

Для пешехода из А: \( 9 = v_A · t \)

Для пешехода из В: \( 10 = v_B · t \)

По условию, скорость пешехода из А на 1 км/ч больше скорости пешехода из В: \( v_A = v_B + 1 \).

Из первого уравнения выразим \( t \): \( t = \frac{9}{v_A} \).

Из второго уравнения выразим \( t \): \( t = \frac{10}{v_B} \).

Приравниваем время:

\( \frac{9}{v_A} = \frac{10}{v_B} \)

Подставим \( v_A = v_B + 1 \) в это уравнение:

\( \frac{9}{v_B + 1} = \frac{10}{v_B} \)

Решаем пропорцию:

\( 9 · v_B = 10 · (v_B + 1) \)

\( 9v_B = 10v_B + 10 \)

\( 9v_B - 10v_B = 10 \)

\( -v_B = 10 \)

\( v_B = -10 \)

Полученная скорость отрицательна, что не имеет физического смысла. Это означает, что условие про остановку должно быть учтено при расчете времени.

Пусть \( T \) — общее время, которое находился в пути пешеход из А, включая остановку. Остановка составляет 0.5 часа.

Тогда время движения пешехода из А равно \( T - 0.5 \).

Уравнения движения:

Пешеход из А: \( 9 = v_A · (T - 0.5) \)

Пешеход из В: \( 10 = v_B · T \)

Используем соотношение скоростей: \( v_A = v_B + 1 \).

Выразим \( T \) из второго уравнения: \( T = \frac{10}{v_B} \).

Подставим \( v_A \) и \( T \) в первое уравнение:

\( 9 = (v_B + 1) · (\frac{10}{v_B} - 0.5) \)

\( 9 = (v_B + 1) · (\frac{10 - 0.5v_B}{v_B}) \)

\( 9v_B = (v_B + 1) · (10 - 0.5v_B) \)

\( 9v_B = 10v_B - 0.5v_B^2 + 10 - 0.5v_B \)

\( 9v_B = 9.5v_B - 0.5v_B^2 + 10 \)

Перенесем все в одну сторону:

\( 0.5v_B^2 + 9v_B - 9.5v_B - 10 = 0 \)

\( 0.5v_B^2 - 0.5v_B - 10 = 0 \)

Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\( v_B^2 - v_B - 20 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

\( D = (-1)^2 - 4 · 1 · (-20) = 1 + 80 = 81 \)

\( \sqrt{D} = 9 \)

\( v_B = \frac{1 \pm 9}{2} \)

Два возможных значения \( v_B \):

\( v_{B1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

\( v_{B2} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v_B = 5 \) км/ч.

Теперь найдем скорость пешехода из А:

\( v_A = v_B + 1 = 5 + 1 = 6 \) км/ч.

Проверим время:

Время движения пешехода из В: \( T = \frac{10}{5} = 2 \) часа.

Время движения пешехода из А: \( T - 0.5 = 2 - 0.5 = 1.5 \) часа.

Пройденное расстояние пешеходом из А: \( v_A · (T - 0.5) = 6 · 1.5 = 9 \) км. Это соответствует условию.

Ответ: 6 км/ч.