5. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Обозначим скорость первого автомобиля как $$v$$ км/ч, а весь путь между пунктами А и В как $$S$$ км. Тогда время, которое первый автомобиль затратил на весь путь, равно $$\frac{S}{v}$$ часам.

Второй автомобиль первую половину пути, то есть $$\frac{S}{2}$$ км, проехал со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути, то есть $$\frac{S}{2}$$ км, со скоростью $$(v + 16)$$ км/ч. Следовательно, время, которое второй автомобиль затратил на весь путь, равно $$\frac{S}{2 \cdot 24} + \frac{S}{2(v + 16)}$$ часам.

Так как оба автомобиля прибыли в пункт В одновременно, то время, затраченное ими на путь, одинаково. Получаем уравнение:

$$\frac{S}{v} = \frac{S}{2 \cdot 24} + \frac{S}{2(v + 16)}$$

Сокращаем на $$S$$ (так как $$S
eq 0$$):

$$\frac{1}{v} = \frac{1}{48} + \frac{1}{2(v + 16)}$$

Умножаем обе части уравнения на $$48v(v + 16)$$:

$$48(v + 16) = v(v + 16) + 24v$$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$$48v + 768 = v^2 + 16v + 24v$$ $$v^2 - 8v - 768 = 0$$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант:

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-768) = 64 + 3072 = 3136 = 56^2$$

Корни:

$$v_1 = \frac{8 + 56}{2} = \frac{64}{2} = 32$$ $$v_2 = \frac{8 - 56}{2} = \frac{-48}{2} = -24$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 32$$ км/ч.

Ответ: 32