Из одной точки окружности провели две хорды, угол между которыми равен 105°. Найдите отношение длин этих хорд, если одна из них равна радиусу этой окружности. ( рис.)

Решение:

1. Обозначения:

   • Пусть окружность с центром в точке O.
   • Хорды BA и BC, угол между ними \[\angle ABC = 105^\circ\]
   • Пусть BA = r (радиус окружности)
   • Нужно найти отношение \[\frac{BC}{BA} = \frac{BC}{r}\]

2. Угол, опирающийся на дугу:

   Угол, образованный хордами BA и BC, является вписанным углом. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

   Следовательно, центральный угол \[\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 105^\circ = 210^\circ\]

3. Применим теорему косинусов к треугольнику AOC:

   В треугольнике AOC, стороны AO и OC равны радиусу r, и угол \[\angle AOC = 210^\circ\]

   По теореме косинусов:

   \[AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2 \cdot AO \cdot OC \cdot \cos(210^\circ)\]

   \[AC^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(210^\circ)\]

   Косинус угла 210 градусов равен \[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]

   \[AC^2 = 2r^2 - 2r^2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

   \[AC^2 = 2r^2 + r^2\sqrt{3}\]

   \[AC = r\sqrt{2 + \sqrt{3}}\]

4. Применим теорему синусов к треугольнику ABC:

   \[\frac{AC}{\sin(105^\circ)} = \frac{BA}{\sin(\angle ACB)}\]

   \[\frac{r\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sin(105^\circ)} = \frac{r}{\sin(\angle ACB)}\]

   Угол \[\angle ACB = 180^\circ - 105^\circ - \angle BAC\]

5. Найдем угол BAC:

   Синус угла 105 градусов можно выразить как \[\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]

   Итак:

   \[\frac{r\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}\]

6. Выразим BC:

   \[BC = \frac{AC \cdot \sin(\angle BAC)}{\sin(\angle ABC)}\]

   \[\frac{BC}{BA} = \frac{AC}{r} = \frac{r\sqrt{2+\sqrt{3}}}{r} = \sqrt{2+\sqrt{3}}\]