Из городов А и В одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 10 часов раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 55 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Решение:

Обозначим время в пути велосипедиста из В в А как \( t_{BA} \) часов. Тогда время в пути мотоциклиста из А в В будет \( t_{AB} = t_{BA} - 10 \) часов.

Пусть расстояние между городами А и В равно \( S \) км.

Скорость мотоциклиста \( v_M = \frac{S}{t_{AB}} = \frac{S}{t_{BA} - 10} \) км/ч.

Скорость велосипедиста \( v_V = \frac{S}{t_{BA}} \) км/ч.

Встреча произошла через 55 минут, что составляет \( \frac{55}{60} = \frac{11}{12} \) часа.

За это время мотоциклист проехал \( v_M \cdot \frac{11}{12} \) км, а велосипедист проехал \( v_V \cdot \frac{11}{12} \) км. Сумма этих расстояний равна \( S \).

\( \frac{S}{t_{BA} - 10} \cdot \frac{11}{12} + \frac{S}{t_{BA}} \cdot \frac{11}{12} = S \)

Разделим обе части на \( S \):

\( \frac{11}{12(t_{BA} - 10)} + \frac{11}{12t_{BA}} = 1 \)

Умножим на \( 12t_{BA}(t_{BA} - 10) \):

\( 11t_{BA} + 11(t_{BA} - 10) = 12t_{BA}(t_{BA} - 10) \)

\( 11t_{BA} + 11t_{BA} - 110 = 12t_{BA}^2 - 120t_{BA} \)

\( 22t_{BA} - 110 = 12t_{BA}^2 - 120t_{BA} \)

\( 12t_{BA}^2 - 142t_{BA} + 110 = 0 \)

Разделим на 2:

\( 6t_{BA}^2 - 71t_{BA} + 55 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-71)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 55 = 5041 - 1320 = 3721 \)

\( \sqrt{D} = 61 \)

\( t_{BA} = \frac{71 \pm 61}{12} \)

Два возможных значения:

\( t_{BA1} = \frac{71 + 61}{12} = \frac{132}{12} = 11 \)

\( t_{BA2} = \frac{71 - 61}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \)

Если \( t_{BA} = \frac{5}{6} \) часа, то \( t_{AB} = \frac{5}{6} - 10 \) — отрицательное время, что невозможно.

Следовательно, \( t_{BA} = 11 \) часов.

Ответ: 11 часов.