Из города Петровска в село Ивановка, расстояние между которыми 80 км, вниз по течению реки отправился плот. Вслед за ним вышла моторная лодка, которая, прибыв в Ивановку, повернула обратно и возвратилась в Петровск. К этому моменту плот прошёл 18 км. Найдите собственную скорость моторной лодки, если скорость течения реки 2 км/ч. Ответ дайте в километрах в час.

Решение:

Пусть x км/ч - собственная скорость лодки.

Плот проплыл 18 км со скоростью течения 2 км/ч. Найдем время, которое плот был в пути: \[t = \frac{S}{V} = \frac{18}{2} = 9 \text{ ч}\]

Лодка проплыла 80 км по течению со скоростью (x + 2) км/ч и 80 км против течения со скоростью (x - 2) км/ч. Время, затраченное лодкой: \[\frac{80}{x + 2} + \frac{80}{x - 2} = 9\]

Решим уравнение: \[\frac{80(x - 2) + 80(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 9\] \[\frac{80x - 160 + 80x + 160}{x^2 - 4} = 9\] \[\frac{160x}{x^2 - 4} = 9\] \[160x = 9x^2 - 36\] \[9x^2 - 160x - 36 = 0\]

Решим квадратное уравнение: \[D = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896\] \[x_1 = \frac{160 + \sqrt{26896}}{2 \cdot 9} = \frac{160 + 164}{18} = \frac{324}{18} = 18\] \[x_2 = \frac{160 - \sqrt{26896}}{2 \cdot 9} = \frac{160 - 164}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}\text{ (не подходит, т.к. скорость не может быть отрицательной)}\]

Ответ: 18 км/ч