Из четырёх одинаковых резисторов сопротивлением R = 15 Ом и вольтметра собрана цепь, изображённая на рисунке. Цепь подключена к источнику с напряжением U₀ = 20 В. Определите показания вольтметра. Считайте вольтметр и источник идеальными.

Дано:

• Четыре одинаковых резистора с сопротивлением R = 15 Ом.
• Напряжение источника U₀ = 20 В.
• Вольтметр и источник идеальные.

Решение:

Рассмотрим схему цепи. Два резистора (верхний левый и верхний правый) соединены параллельно. Этот параллельный участок соединен последовательно с нижним правым резистором. Весь этот участок (два параллельных резистора и один последовательный) соединен параллельно с нижним левым резистором. Вольтметр подключен параллельно нижнему левому резистору.

1. Сопротивление верхних двух резисторов:

   Верхние два резистора (R1 и R2) соединены параллельно. Их общее сопротивление:

   \[ R_{верх} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2} \]

   \[ R_{верх} = \frac{15 \text{ Ом}}{2} = 7.5 \text{ Ом} \]

2. Сопротивление участка цепи (верхние два резистора + нижний правый):

   Этот участок (R1 || R2) соединен последовательно с нижним правым резистором (R3). Их общее сопротивление:

   \[ R_{участок} = R_{верх} + R = \frac{R}{2} + R = \frac{3R}{2} \]

   \[ R_{участок} = 7.5 \text{ Ом} + 15 \text{ Ом} = 22.5 \text{ Ом} \]

3. Общее сопротивление цепи:

   Участок цепи (R_участок) соединен параллельно с нижним левым резистором (R4). Их общее сопротивление:

   \[ R_{общ} = \frac{R_{участок} \times R}{R_{участок} + R} = \frac{\frac{3R}{2} \times R}{\frac{3R}{2} + R} = \frac{\frac{3R^2}{2}}{\frac{5R}{2}} = \frac{3R}{5} \]

   \[ R_{общ} = \frac{3 \times 15 \text{ Ом}}{5} = \frac{45}{5} \text{ Ом} = 9 \text{ Ом} \]

4. Ток, выходящий из источника:

   Общий ток в цепи:

   \[ I_{общ} = \frac{U_0}{R_{общ}} \]

   \[ I_{общ} = \frac{20 \text{ В}}{9 \text{ Ом}} \]

5. Напряжение на нижнем левом резисторе (показания вольтметра):

   Вольтметр подключен параллельно нижнему левому резистору (R4). Этот резистор подключен напрямую к источнику, поэтому напряжение на нем равно напряжению источника, если бы не было других параллельных ветвей. Однако, схема показывает, что этот резистор (R4) находится в параллели с остальной цепью. Таким образом, напряжение на R4 равно напряжению источника, так как вольтметр и источник идеальны.

   \[ U_{вольтметра} = U_0 \]

   \[ U_{вольтметра} = 20 \text{ В} \]

6. Альтернативный подход (уточнение):

   Рассмотрим точки соединения. Верхний провод и нижний провод от источника. Вольтметр подключен между верхним и нижним проводами, на одном из резисторов (R4). Этот резистор (R4) является одной из параллельных ветвей, к которой подключен вольтметр. Поскольку источник идеальный, напряжение на всех параллельных ветвях равно напряжению источника.

Ответ: 20 В