Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 63 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 12 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Пусть расстояние между А и В равно \( S \) км, а скорость первого автомобиля равна \( v \) км/ч. Тогда время, которое первый автомобиль потратил на путь из А в В, равно \( t = \frac{S}{v} \) часов. Второй автомобиль проехал первую половину пути, то есть \( \frac{S}{2} \) км, со скоростью 63 км/ч, а вторую половину пути, тоже \( \frac{S}{2} \) км, со скоростью \( v + 12 \) км/ч. Время, которое он затратил на первую половину пути, равно \( t_1 = \frac{S/2}{63} = \frac{S}{126} \) часов, а на вторую половину пути — \( t_2 = \frac{S/2}{v+12} = \frac{S}{2(v+12)} \) часов. Общее время в пути второго автомобиля равно \( t_1 + t_2 = \frac{S}{126} + \frac{S}{2(v+12)} \) часов. Так как оба автомобиля прибыли в В одновременно, то их времена в пути равны: \( \frac{S}{v} = \frac{S}{126} + \frac{S}{2(v+12)} \). Разделим обе части уравнения на \( S \): \( \frac{1}{v} = \frac{1}{126} + \frac{1}{2(v+12)} \). Умножим обе части уравнения на \( 126 \cdot 2v \cdot (v+12) \) для избавления от дробей: \( 126 \cdot 2(v+12) = 2v(v+12) + 126v \). Упростим: \( 252(v+12) = 2v^2 + 24v + 126v \). Раскроем скобки: \( 252v + 3024 = 2v^2 + 150v \). Перенесем все в правую часть: \( 2v^2 + 150v - 252v - 3024 = 0 \). Упростим: \( 2v^2 - 102v - 3024 = 0 \). Разделим уравнение на 2: \( v^2 - 51v - 1512 = 0 \). Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = (-51)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1512) = 2601 + 6048 = 8649 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{8649} = 93 \). Найдем корни уравнения: \( v_1 = \frac{51+93}{2} = \frac{144}{2} = 72 \), \( v_2 = \frac{51-93}{2} = \frac{-42}{2} = -21 \). Так как скорость не может быть отрицательной, то \( v = 72 \). Таким образом, скорость первого автомобиля равна 72 км/ч. **Ответ:** 72