15. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 32 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найди скорость первого автомобиля. Ответ дай в км/ч.

Пусть $$v$$ - скорость первого автомобиля (км/ч). Пусть $$S$$ - расстояние между пунктами А и В (км). Время, которое первый автомобиль затратил на весь путь, равно $$\frac{S}{v}$$. Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути со скоростью $$(v + 32)$$ км/ч. Время, которое второй автомобиль затратил на весь путь, равно $$\frac{S/2}{48} + \frac{S/2}{v+32}$$. Так как они прибыли в В одновременно, то времена равны: $$\frac{S}{v} = \frac{S/2}{48} + \frac{S/2}{v+32}$$ Разделим обе части уравнения на $$S$$: $$\frac{1}{v} = \frac{1}{2 \cdot 48} + \frac{1}{2(v+32)}$$ $$\frac{1}{v} = \frac{1}{96} + \frac{1}{2v+64}$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{1}{v} = \frac{2v+64 + 96}{96(2v+64)}$$ $$\frac{1}{v} = \frac{2v+160}{192v+6144}$$ Перекрестное умножение: $$192v + 6144 = v(2v + 160)$$ $$192v + 6144 = 2v^2 + 160v$$ $$2v^2 + 160v - 192v - 6144 = 0$$ $$2v^2 - 32v - 6144 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 2: $$v^2 - 16v - 3072 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-16)^2 - 4(1)(-3072) = 256 + 12288 = 12544$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112$$ $$v_1 = \frac{-(-16) + 112}{2} = \frac{16 + 112}{2} = \frac{128}{2} = 64$$ $$v_2 = \frac{-(-16) - 112}{2} = \frac{16 - 112}{2} = \frac{-96}{2} = -48$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 64$$ км/ч. **Ответ: 64** **Решение:** 1. **Обозначение переменных:** * $$v$$ - скорость первого автомобиля. * $$S$$ - расстояние между пунктами А и В. 2. **Выражение времени движения первого автомобиля:** * Время первого автомобиля: $$\frac{S}{v}$$. 3. **Выражение времени движения второго автомобиля:** * Первая половина пути: $$\frac{S/2}{48}$$. * Вторая половина пути: $$\frac{S/2}{v+32}$$. * Общее время второго автомобиля: $$\frac{S/2}{48} + \frac{S/2}{v+32}$$. 4. **Уравнение времени (так как прибыли одновременно):** * $$\frac{S}{v} = \frac{S/2}{48} + \frac{S/2}{v+32}$$. 5. **Упрощение уравнения:** * Разделим обе части на $$S$$: $$\frac{1}{v} = \frac{1}{96} + \frac{1}{2v+64}$$. 6. **Решение уравнения:** * Приведем к общему знаменателю и решим квадратное уравнение: $$v^2 - 16v - 3072 = 0$$. * Найдем дискриминант: $$D = 12544$$, $$\sqrt{D} = 112$$. * Найдем корни: $$v_1 = 64$$, $$v_2 = -48$$. 7. **Выбор правильного корня:** * Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем $$v = 64$$. 8. **Ответ:** * Скорость первого автомобиля равна 64 км/ч.