Итоговая работа СО. Геометрия, 8 класс. 2025-26 Вопрос № 1 Выполните письменное задание Площадь равностороннего треугольника равна 27√3. Найдите его биссектрису.

Решение:

Для равностороннего треугольника справедливы следующие формулы:

• Площадь: \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \), где \( a \) — сторона треугольника.
• Биссектриса: \( h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \), где \( a \) — сторона треугольника.

Известно, что площадь \( S = 27\sqrt{3} \). Используем формулу площади, чтобы найти длину стороны \( a \):

\[ \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3} \]

Разделим обе части уравнения на \( \sqrt{3} \):

\[ \frac{a^2}{4} = 27 \]

Умножим обе части на 4:

\[ a^2 = 27 \cdot 4 = 108 \]

Найдем длину стороны \( a \), извлекая квадратный корень:

\[ a = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \]

Теперь, зная длину стороны \( a \), найдем длину биссектрисы (которая в равностороннем треугольнике является и высотой):

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

Ответ: биссектриса равна 9.