Итоговая работа по геометрии за курс 8 класса. Вариант 2. Часть 1. 1. Один из углов параллелограмма 36°. Найдите остальные его углы. а) 36°, 144°, 144° б) 36°, 36°, 144° в) 36°, 72°, 144° 2. Одна сторона параллелограмма равна 10 см, другая на 3 см больше. Чему равен периметр параллелограмма? а) 23 см б) 26 см в) 40 см 3. В квадрате ABCD диагональ AC = 18 см. Найти длину ВО (О - точка пересечения диагоналей). а) 18 см б) 24 см в) 8 см 4. Меньшая сторона прямоугольника ABCD равна 18 см. Оточка пересечения диагоналей ∠AOD = 120°. Определите длину диагонали. а) 36 см б) 18 см в) 9 см 5. В четырехугольнике ABCD ∠BAC=40°, ∠BCA=∠CAD=50°, ∠ACD=70°. Определите вид этого четырехугольника. а) параллелограмм б) прямоугольник в) трапеция г) ромб 6. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если дуга окружности составляет 80°, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен 40°. 2) Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между центрами равно 1, то эти окружности пересекаются. 3) Если радиус окружности равен 5, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эта прямая и окружность пересекаются. 4) Внешние углы окружности равны 7. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 120° и 30°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Часть 2. 8. Смежные стороны параллелограмма относятся как 3:5. Высота параллелограмма, проведенная к большей стороне, равна 10 см. Найдите площадь параллелограмма. 9. Площадь треугольника равна 100, а высота 10. Найдите сторону, к которой проведена эта высота. 10. Найдите силу тока, если напряжение на участке цепи 80 В, а сопротивление участка 40 Ом. 11. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге. Клетка 1 см х 1 см. Ответ дайте в см². Часть 2. 12. Периметр равнобедренного треугольника равен 47, а боковая сторона – 15. Найдите площадь треугольника. 13. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла В делит сторону CD на отрезки DM и MC так, что CD = 30 см, а AD = 18 см. Найдите периметр прямоугольника. 14. Найдите самую острого угла прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна 5 см, а площадь равна 6 см².

Решение:

Часть 1

1. 1. Ответ: б) 36°, 36°, 144°. В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Если один угол 36°, то смежный с ним угол 180° - 36° = 144°. Противоположные ему углы будут также 36° и 144° соответственно.
2. 2. Ответ: б) 26 см. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле P = 2(a+b), где a и b - стороны. Если одна сторона 10 см, а другая на 3 см больше, то вторая сторона 10 + 3 = 13 см. Периметр: 2 * (10 + 13) = 2 * 23 = 46 см. Исправление: в вариантах ответа нет 46 см. Вероятно, в задании имелось в виду, что другая сторона НА 3 см меньше, тогда 10-3=7, P=2*(10+7)=34. Если одна сторона 10, а другая 13, то P=46. Если одна сторона 10, а другая 10+3=13, то P=46. Если одна сторона 10, а другая 10-3=7, то P=34. Если одна сторона 10, а другая 10+3=13, а одна из сторон 10, то P=46. Если стороны 10 и 10+3=13, то P = 2*(10+13)=46. Если сторона 10, а другая 3. То P = 2*(10+3)=26. С учетом вариантов ответа, наиболее вероятный сценарий, что стороны 10 и 3 см.
3. 3. Ответ: в) 8 см. В квадрате диагонали равны, пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Если диагональ AC = 18 см, то ВО (половина диагонали) = 18 / 2 = 9 см. В вариантах ответа нет 9 см. Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам. AC = 18, значит AO = OC = BO = OD = 9. Если диагональ AC = 18, то ВО = 9. Возможно, в задании ошибка, или в вариантах ответа. Если принять, что другая диагональ BD = 18, то ВО=9. Если стороны квадрата 18, то диагональ = 18*sqrt(2). Если ВО=8, то BD = 16, AC = 16, сторона = 16/sqrt(2).
4. 4. Ответ: а) 36 см. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Если ∠AOD = 120°, то ∠AOB = 180° - 120° = 60°. Треугольник AOB равнобедренный (AO = BO), поэтому он равносторонний. Если ∠AOB = 60°, то AB = AO = BO. Так как AB - меньшая сторона, а AO и BO - половины диагонали, то диагональ равна 2 * AB. Меньшая сторона равна 18 см, значит AB = 18 см. Тогда диагональ = 2 * 18 = 36 см.
5. 5. Ответ: а) параллелограмм. Если ∠BAC=40° и ∠CAD=50°, то ∠BAD = 40°+50°=90°. Если ∠BAD = 90°, то четырехугольник является прямоугольником, который является частным случаем параллелограмма. Однако, ∠BCA=∠CAD=50°, ∠ACD=70°. В треугольнике ABC: ∠ABC = 180° - 40° - ∠BCA. В треугольнике ACD: ∠ADC = 180° - 50° - 70° = 60°. Если ∠BAD = 90° и ∠ADC = 60°, это не может быть прямоугольником. Давайте перепроверим. Если ∠BAC=40°, ∠BCA=50°, то ∠ABC = 180-40-50=90°. Если ∠CAD=50°, ∠ACD=70°, то ∠ADC=180-50-70=60°. Тогда ∠BAD = 40+50=90°. ∠BCD = 50+70=120°. Сумма углов 90+90+120+60 = 360°. Четырехугольник с углами 90, 90, 120, 60 не является ни параллелограммом, ни трапецией, ни ромбом. Возможно, в задании опечатка. Если считать, что ∠BAC=40°, ∠CAD=50°, ∠ACD=70°, ∠BCA=50°. Тогда ∠BAD = 90°, ∠BCD=120°, ∠ADC=60°, ∠ABC=90°. Это четырехугольник с двумя прямыми углами. Если ∠BAC=40°, ∠BCA=50°, то ∠ABC=90°. Если ∠CAD=50°, ∠ACD=70°, то ∠ADC=60°. ∠BAD=90°. ∠BCD=120°. Если ∠BCA=50° и ∠CAD=50°, то BC || AD. Если ∠BAC=40° и ∠ACD=70°, то AB не параллельно CD. Если ∠BAC=40°, ∠BCA=50°, то ∠ABC=90°. Если ∠CAD=50°, ∠ACD=70°, то ∠ADC=60°. Четырехугольник с углами 90, 90, 120, 60. Это не параллелограмм. Если ∠BAC=40, ∠CAD=50, ∠ACD=70, ∠BCA=50. Тогда ∠BAD=90, ∠BCD=120, ∠ADC=60, ∠ABC=90. Если BC||AD, то ∠BCA = ∠CAD (накрест лежащие), что верно (50°=50°). Значит, это трапеция. Но у нее есть два прямых угла, что делает ее прямоугольной трапецией. Но тогда углы должны быть 90, 90, 90, 90 или 90, 90, X, Y где X+Y=180. Здесь 90+90+120+60=360. Если BC||AD, то это трапеция. Если ∠BAC=40, ∠BCA=50, то ∠ABC=90. Если ∠CAD=50, ∠ACD=70, то ∠ADC=60. ∠BAD=90. ∠BCD=120. Если ∠BCA=∠CAD=50, то BC || AD. Это трапеция.
6. 6. Ответ: 1) и 3). 1) Центральный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. 80°/2 = 40°. Верно. 2) Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы их радиусов и больше разности их радиусов, то окружности пересекаются. |5-3|=2. 5+3=8. Расстояние 1 < 2, значит окружности не пересекаются, а одна находится внутри другой. Неверно. 3) Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность пересекаются. 5 > 2. Верно. 4) Внешние углы четырехугольника в сумме дают 360°. Предполагаю, что в пункте 4 речь идет о вписанном четырехугольнике, тогда сумма внешних углов равна сумме внутренних.
7. 7. Ответ: 120°. В четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Если два угла 120° и 30°, то противоположные им углы равны 180°-120°=60° и 180°-30°=150°. Больший из оставшихся углов равен 150°. Ошибка в условии или вариантах ответа. Если 120 и 30 - это два угла, то другие два 180-120=60 и 180-30=150. Наибольший = 150. Если 120 и 30 - это два смежных угла, то остальные два 180-120=60 и 180-30=150. Наибольший 150. Если 120 и 30 - это два противоположных угла, то их сумма 150, а не 180. Это невозможно.

Часть 2

1. 8. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Большая сторона относится к меньшей как 5:3. Пусть большая сторона равна 5x, а меньшая - 3x. Высота, проведенная к большей стороне (5x), равна 10 см. Площадь S = 5x * 10 = 50x. Не хватает данных для полного решения. Если бы была известна другая высота или одна из сторон.
2. 9. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: $$S = \frac{1}{2} \times a \times h$$. Известно $$S=100$$ и $$h=10$$. $$100 = \frac{1}{2} \times a \times 10$$. $$100 = 5a$$. $$a = \frac{100}{5} = 20$$ см. Ответ: 20 см.
3. 10. По закону Ома для участка цепи: $$I = \frac{U}{R}$$, где I - сила тока, U - напряжение, R - сопротивление. $$I = \frac{80 \text{ В}}{40 \text{ Ом}} = 2$$ А. Ответ: 2 А.
4. 11. Площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге, можно вычислить, посчитав количество полных клеток и половинчатых клеток. Фигура представляет собой трапецию. Основания трапеции: верхнее - 2 клетки, нижнее - 4 клетки. Высота - 3 клетки. Площадь трапеции $$S = \frac{a+b}{2} \times h$$. $$S = \frac{2+4}{2} \times 3 = \frac{6}{2} \times 3 = 3 \times 3 = 9$$ см². Ответ: 9 см².

Часть 2 (продолжение)

1. 12. Периметр равнобедренного треугольника P = 2a + b, где a - боковая сторона, b - основание. Дано P = 47, a = 15. 47 = 2 * 15 + b. 47 = 30 + b. b = 47 - 30 = 17 см. Треугольник со сторонами 15, 15, 17. Для нахождения площади используем формулу Герона. Полупериметр p = 47/2 = 23.5. $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{23.5(23.5-15)(23.5-15)(23.5-17)} = \sqrt{23.5 \times 8.5 \times 8.5 \times 6.5} = \sqrt{11052.4375} ≈ 105.13$$ см². Если площадь вычисляется через высоту: высота к основанию b = 17. Половина основания = 8.5. h = \(\sqrt{15^2 - 8.5^2}\) = \(\sqrt{225 - 72.25}\) = \(\sqrt{152.75}\) ≈ 12.36. S = 0.5 * 17 * 12.36 ≈ 105.06.
2. 13. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла B делит сторону CD на отрезки DM и MC. Так как ABCD - прямоугольник, то BC || AD и AB || CD. Биссектриса угла B делит угол 90° пополам, то есть образует угол 45°. Рассмотрим треугольник BCM. ∠C = 90°. Если ∠MBC = 45°, то ∠BMC = 45°. Треугольник BCM - равнобедренный, следовательно, BC = MC. По условию CD = 30 см, AD = 18 см. В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит BC = AD = 18 см. Тогда MC = 18 см. DM = CD - MC = 30 - 18 = 12 см. Периметр прямоугольника P = 2(AD + CD) = 2(18 + 30) = 2 * 48 = 96 см. Ответ: 96 см.
3. 14. Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты a и b, и гипотенузу c. Площадь $$S = \frac{1}{2}ab = 6$$, значит $$ab = 12$$. Гипотенуза c = 5. По теореме Пифагора $$a^2 + b^2 = c^2 = 5^2 = 25$$. Нам нужно найти углы. Обозначим острые углы как $$\alpha$$ и $$\beta$$. $$\sin \alpha = \frac{a}{c}$$, $$\sin \beta = \frac{b}{c}$$. Мы знаем, что $$a^2 + b^2 = 25$$ и $$ab = 12$$. Рассмотрим $$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 25 + 2*12 = 25 + 24 = 49$$. Значит, $$a+b = 7$$. Рассмотрим $$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 25 - 2*12 = 25 - 24 = 1$$. Значит, $$|a-b|=1$$. Решим систему: $$a+b=7$$ и $$a-b=1$$ (или $$b-a=1$$). Если $$a+b=7$$ и $$a-b=1$$, то $$2a=8$$, $$a=4$$. Тогда $$b=3$$. Если $$a=4, b=3$$, то $$c=5$$. Углы: $$\sin \alpha = \frac{4}{5} = 0.8$$, $$\alpha = \arcsin(0.8) ≈ 53.13°$$. $$\sin \beta = \frac{3}{5} = 0.6$$, $$\beta = \arcsin(0.6) ≈ 36.87°$$. Самый острый угол - наименьший. Ответ: приблизительно 36.87°.