Итоговая проверочная по геометрии (7 класс) Вариант 2.. 1. В равнобедренном треугольнике один угол при основании равен 115°. Найдите углы этого треугольника. 2. Величины смежных углов пропорциональны числам 7 и 5. Чему равно разность между этими углами? 3. В прямоугольном △ABC ∠C = 90°, ∠B = 30°, AC = 10 см. CD - высота, проведённая к стороне AB. Чему равна длина CD – перпендикуляра, проведённого из точки C к гипотенузе AB? 4. Прямые a и b параллельны. Образованный ими угол равен 130°. Чему равно отношение большего из этих углов к меньшему? 5. Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см, а одна боковая сторона меньше основания. Чему равна сумма боковых сторон? 6. Когда AB = 24 см. окружности, LADB = 90°. Найти расстояние от центра О до хорды AB.

Решение:

1. Равнобедренный треугольник:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна \( 180° \). Если угол при основании равен \( 115° \), то сумма двух углов при основании составит \( 115° \times 2 = 230° \), что больше \( 180° \). Следовательно, угол \( 115° \) не может быть углом при основании. Это угол при вершине.

1. Угол при вершине \( \alpha = 115° \).


2. Сумма углов при основании равна \( 180° - 115° = 65° \).


3. Так как углы при основании равны, каждый из них равен \( 65° / 2 = 32.5° \).

Ответ: Углы треугольника равны \( 115°, 32.5°, 32.5° \).

2. Смежные углы:

Пусть смежные углы равны \( 7x \) и \( 5x \). Их сумма равна \( 180° \).

1. \( 7x + 5x = 180° \)


2. \( 12x = 180° \)


3. \( x = 180° / 12 = 15° \)


4. Больший угол: \( 7 \times 15° = 105° \)


5. Меньший угол: \( 5 \times 15° = 75° \)


6. Разность углов: \( 105° - 75° = 30° \)

Ответ: Разность углов равна \( 30° \).

3. Прямоугольный треугольник:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) с \( \angle C = 90° \) и \( \angle B = 30° \), гипотенуза \( AB \) находится как \( AC / \sin(30°) \).

1. \( \sin(30°) = 0.5 \)


2. \( AB = 10 \text{ см} / 0.5 = 20 \text{ см} \)


3. Высота \( CD \) в прямоугольном треугольнике равна \( \frac{AC \cdot BC}{AB} \).


4. Найдем \( BC \) по теореме Пифагора: \( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \text{ см} \)


5. \( CD = \frac{10 \text{ см} \cdot 10\sqrt{3} \text{ см}}{20 \text{ см}} = \frac{100\sqrt{3}}{20} = 5\sqrt{3} \text{ см} \)

Ответ: Длина высоты \( CD \) равна \( 5\sqrt{3} \text{ см} \).

4. Параллельные прямые:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна \( 180° \). Если один из углов равен \( 130° \), то смежный с ним односторонний угол равен \( 180° - 130° = 50° \).

1. Больший угол = \( 130° \)


2. Меньший угол = \( 180° - 130° = 50° \)


3. Отношение большего к меньшему: \( 130° / 50° = 13/5 = 2.6 \)

Ответ: Отношение углов равно \( 2.6 \).

5. Периметр равнобедренного треугольника:

Пусть основание равно \( a \), а боковые стороны равны \( b \). Периметр \( P = a + 2b \). Нам дано \( P = 18 \text{ см} \) и \( b < a \).

1. \( a + 2b = 18 \)


2. Так как \( b < a \), то \( b < 18 - 2b \) → \( 3b < 18 \) → \( b < 6 \).


3. И \( a = 18 - 2b \). Так как \( b \) - сторона треугольника, \( b > 0 \).


4. Из неравенства треугольника: \( a < 2b \) → \( 18 - 2b < 2b \) → \( 18 < 4b \) → \( b > 4.5 \).


5. Итак, \( 4.5 < b < 6 \).


6. Сумма боковых сторон равна \( 2b \).


7. Поскольку \( b > 4.5 \), то \( 2b > 9 \).


8. Поскольку \( b < 6 \), то \( 2b < 12 \).


9. Сумма боковых сторон больше \( 9 \text{ см} \) и меньше \( 12 \text{ см} \).

Ответ: Сумма боковых сторон равна \( 18 - a \) см, где \( a \) - основание, и \( 9 < 18-a < 12 \).

6. Окружность и хорда:

\( AB = 24 \text{ см} \) — хорда. \( \angle ADB = 90° \). Это означает, что хорда \( AB \) является диаметром окружности, если точка \( D \) лежит на окружности. Но в условии сказано \( LADB = 90° \), что является вписанным углом, опирающимся на дугу \( AB \). Если \( \angle ADB = 90° \), то хорда \( AB \) является диаметром. Однако, если \( \angle ADB \) — угол, опирающийся на хорду \( AB \) из точки \( D \) на окружности, и он равен \( 90° \), то \( AB \) — диаметр. По условию \( LADB=90^{\circ} \), и \( O \) - центр окружности. Значит, \( AB \) - диаметр, если \( D \) на окружности. Если \( LADB = 90° \) где \( D \) — точка на окружности, то \( AB \) — диаметр. Расстояние от центра \( O \) до диаметра равно \( 0 \). Однако, из текста следует, что \( \angle ADB = 90° \) — это вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Если \( \angle ADB=90^{\circ} \) то \( AB \) является диаметром окружности. Расстояние от центра \( O \) до диаметра \( AB \) равно \( 0 \). Но если \( D \) — точка на окружности, то \( AB \) — диаметр. Однако, если \( \angle ADB = 90° \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( AB \), то \( AB \) является диаметром. В задаче \( AB = 24 \text{ см} \) — хорда. \( \angle ADB = 90° \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Следовательно, \( AB \) является диаметром. Диаметр = \( 24 \text{ см} \). Радиус \( R = 12 \text{ см} \). Расстояние от центра \( O \) до хорды \( AB \) равно \( 0 \) потому что хорда является диаметром.

Ответ: Расстояние от центра \( O \) до хорды \( AB \) равно \( 0 \) см (так как \( AB \) является диаметром).