ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 1. В треугольнике АВС точка D — середина стороны АВ, точка М — точка пересечения медиан. а) Выразите вектор MD через векторы MA и MB и век- тор AM через векторы AB и AC. б) Найдите скалярное произведение AB · AC, если AB = = AC = 2, ∠B = 75°. 2. Даны точки А (1; 1), В (4; 5), C (-3; 4). а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный и пря- моугольный. б) Найдите длину медианы СМ. 3. В треугольнике ABC ∠A = a > 90°, ∠B = В, высота BD рав- на h. а) Найдите сторону АС и радиус R описанной окружности. б) Вычислите значение R, если а = 120°, β = 15°, h = 6 см. 4. Хорда окружности равна а и стягивает дугу в 120°. Най- дите: а) длину дуги; б) площадь сектора, ограниченного этой дугой и двумя радиусами. Вариант 2 1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точ- ке О. а) Выразите вектор ОС через векторы AB и BC и вектор OD через векторы AB и AD. б) Найдите скалярное произведение AB · BC, если AB = = 2BC = 6, ∠A = 60°. 2. Даны точки К (0; 1), М (3; -3) N (1; -6). а) Докажите, что треугольник KMN равнобедренный и пря- моугольный. б) Найдите длину медианы NL. 3. В треугольнике ABC ∠A = a > 90°, ∠B = В, высота CD рав- на h. а) Найдите сторону AB и радиус R описанной окружности. б) Вычислите значение R, если а = 135°, h = 3 см, В = 30°. 4. Хорда окружности равна а и стягивает дугу в 60°. Найди- те: а) длину дуги; б) площадь сектора, ограниченного этой ду- гой и двумя радиусами.

Вариант 1

1. В треугольнике ABC

а) Выражение векторов:

1. Вектор MD: Так как D — середина AB, то ile AD = DB = \(\( rac{1}{2} \) \vec{AB}\). Также, M — точка пересечения медиан, следовательно, M делит каждую медиану в отношении 2:1. Если CM — медиана, то \(\( CM : MO = 2 : 1 \)).
2. Вектор AM: Вектор AM является частью медианы, соединяющей вершину A с серединой противоположной стороны BC.

б) Скалярное произведение:

1. Данные: AB = 2, AC = 2, \(\angle B = 75^{\circ}\).
2. Формула скалярного произведения: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cos(\angle BAC)\).
3. Находим угол BAC: В треугольнике ABC, сумма углов равна 180°. \(\angle BAC = 180^{\circ} - \angle B - \angle C\). Требуется дополнительная информация для определения \(\angle C\) или \(\angle BAC\). Если предположить, что треугольник равнобедренный с AB=AC, то \(\angle B = \angle C = 75^{\circ}\), тогда \(\angle BAC = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 75^{\circ} = 30^{\circ}\).
4. Расчет: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot 2 \cos(30^{\circ}) = 4 \cdot \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 2\sqrt{3}\).

2. Точки A(1; 1), B(4; 5), C(-3; 4)

а) Доказательство равнобедренности и прямоугольности:

1. Найдем длины сторон:
• AB = \(\sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
• BC = \(\sqrt{(-3-4)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
• AC = \(\sqrt{(-3-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)
2. Равнобедренность: Так как AB = AC = 5, треугольник ABC равнобедренный.
3. Прямоугольность: Проверим теорему Пифагора: AB² + AC² = 5² + 5² = 25 + 25 = 50. BC² = (5\sqrt{2})² = 50.
4. Вывод: Так как AB² + AC² = BC², то треугольник ABC прямоугольный с прямым углом в вершине A.

б) Длина медианы СМ:

1. Медиана CM соединяет вершину C с серединой стороны AB.
2. Координаты середины AB (D): \(D = (\frac{1+4}{2}, \frac{1+5}{2}) = (\frac{5}{2}, 3)\).
3. Длина медианы CM = CD = \(\sqrt{(\frac{5}{2} - (-3))^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{(\frac{5}{2} + 3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{(\frac{11}{2})^2 + 1} = \sqrt{\frac{121}{4} + 1} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}\).

3. Треугольник ABC, ∠A = α > 90°, ∠B = β, высота BD = h

а) Сторона AC и радиус R описанной окружности:

1. Сторона AC: В прямоугольном треугольнике ABD (угол ADB = 90°), sin(B) = BD/AB => AB = h/sin(B). cos(B) = AD/AB => AD = AB cos(B) = (h/sin(B)) cos(B) = h cot(B).
2. В треугольнике ABC: \(\angle C = 180^{\circ} - \alpha - \beta\).
3. Используя теорему синусов: AC/sin(B) = AB/sin(C) => AC = AB * sin(B) / sin(C) = (h/sin(B)) * sin(B) / sin(180° - α - β) = h / sin(α + β).
4. Радиус R описанной окружности: По теореме синусов, \(\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = 2R\).
5. Следовательно, \(R = \frac{BC}{2 \sin A}\).
6. Чтобы найти BC, можно использовать теорему косинусов или найти стороны в прямоугольных треугольниках, образованных высотой BD.
7. Из прямоугольного треугольника ABD: AD = h ctg(β). AB = h/sin(β).
8. Из прямоугольного треугольника BDC: CD = h ctg(α). BC = h/sin(α).

9. Уточнение: Указано, что BD — высота, значит, D лежит на AC (или на ее продолжении). Но если ∠A > 90°, то высота из B падает на продолжение AC.

   Предполагаем, что BD — высота из B на сторону AC (или ее продолжение).

   В прямоугольном треугольнике ABD: \( \angle BAD = 180^{\circ} - \alpha \).

   \(AB = \frac{h}{\sin \alpha}\), \(AD = h \cdot \text{ctg}(180^{\circ} - \alpha) = -h \text{ctg} \alpha\).

   Поскольку ∠A > 90°, угол ∠BAD в треугольнике ABD равен 180° - α.

   В треугольнике ABC:

   \(\angle C = 180^{\circ} - \alpha - \beta\).

   Сторона AC:

   \(AC = AD + DC \) (если D между A и C) или \(AC = |AD - DC|\) (если D вне отрезка AC).

   Если BD — высота, то ∠BDA = 90°.

   В прямоугольном треугольнике ABD:

   \(AB = h / \sin \beta\) (если BD — высота к AC, и ∠BDB'=90, где B' точка на AC)

   Уточнение условия: Если BD — высота, то D лежит на AC. Но если ∠A > 90°, то вершина D будет лежать на продолжении стороны AC. В этом случае, в прямоугольном треугольнике BDA, ∠BAD = 180° - α.

   \( AB = h / \sin(180^{\circ} - \alpha) = h / \sin \alpha \). (неверно, т.к. α угол треугольника)

   Давайте предположим, что BD — высота из B на сторону AC (или её продолжение).

   В прямоугольном треугольнике ABD: \(\angle ADB = 90^{\circ}\).

   \( AB = h / \sin(\angle B) \) - это если BD - высота к AB, что неверно.

   Рассмотрим треугольник ABD, где BD = h, ∠B = β (дан).

   Если BD - высота к AC, то ∠BDA = 90°.

   В прямоугольном треугольнике BDA:

   \( AB = h / \sin(180^{\circ} - \alpha) \) - это неверно.

   Правильный подход:

   В треугольнике ABC, \(\angle A = \alpha > 90^{\circ}\), \(\angle B = \beta\), \(\angle C = 180^{\circ} - \alpha - \beta\).

   BD = h - высота, опущенная из вершины B на сторону AC (или её продолжение).

   Если ∠A > 90°, то точка D лежит вне отрезка AC, на продолжении AC за точкой A.

   В прямоугольном треугольнике BDA (\(\angle BDA = 90^{\circ}\)):

   \( AB = h / \sin(\angle BAD) \). Здесь \(\angle BAD = 180^{\circ} - \alpha \).

   \( AB = h / \sin(180^{\circ} - \alpha) = h / \sin \alpha \).

   \( AD = h / \text{ctg}(180^{\circ} - \alpha) = -h \text{ctg} \alpha \).

   Сторона AC:

   \( AC = CD - AD \) (если D лежит на продолжении AC после A).

   Для нахождения CD, рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. \(\angle BCD = 180^{\circ} - \alpha - \beta\) (это \(\angle C\) в треугольнике ABC).

   \( CD = h / \text{tg}(\angle C) = h / \text{tg}(180^{\circ} - \alpha - \beta) = -h \text{ctg}(\alpha + \beta) \).

   \( AC = CD - AD = -h \text{ctg}(\alpha + \beta) - (-h \text{ctg} \alpha) = h (\text{ctg} \alpha - \text{ctg}(\alpha + \beta)) \).

   Радиус R описанной окружности:

   По теореме синусов: \( \frac{AC}{\sin \beta} = 2R \).

   \( R = \frac{AC}{2 \sin \beta} = \frac{h (\text{ctg} \alpha - \text{ctg}(\alpha + \beta))}{2 \sin \beta} \).

б) Вычисление R, если α = 120°, β = 15°, h = 6 см:

1. \( \alpha + \beta = 120^{\circ} + 15^{\circ} = 135^{\circ} \).
2. \( \text{ctg}(120^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \).
3. \( \text{ctg}(135^{\circ}) = -1 \).
4. \( AC = 6 (-\frac{1}{\sqrt{3}} - (-1)) = 6 (1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 6 \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) = 6 - 2\sqrt{3} \).
5. \( \sin(15^{\circ}) = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \).
6. \( R = \frac{AC}{2 \sin \beta} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}} = \frac{2(6 - 2\sqrt{3})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{4(3 - \sqrt{3})}{\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)} = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6} \).
7. Альтернативный расчет R: \( R = \frac{BC}{2 \sin A} \).
8. Найдем BC: \( BC = h / \sin(\angle BAC) \) - не подходит.
9. Используем теорему синусов для AB: \( \frac{AB}{\sin C} = 2R \). \( C = 180 - 120 - 15 = 45^{\circ} \).
10. \( AB = h / \sin \alpha = 6 / \sin(180 - 120) = 6 / \sin(60) = 6 / (\sqrt{3}/2) = 12/\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \).
11. \( R = AB / (2 \sin C) = 4\sqrt{3} / (2 \sin 45^{\circ}) = 4\sqrt{3} / (2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = 4\sqrt{3} / \sqrt{2} = 2\sqrt{6} \).

4. Хорда окружности равна а, стягивает дугу в 120°

а) Длина дуги:

1. Длина дуги L = \( \frac{\pi R}{180^{\circ}} \cdot \text{угол дуги в градусах} \).
2. Нужен радиус R.
3. В равнобедренном треугольнике, образованном двумя радиусами и хордой, угол при вершине равен 120°. Опустим высоту из центра на хорду. Она разделит угол 120° на два по 60° и хорду 'а' пополам.
4. В прямоугольном треугольнике: \( \sin(60^{\circ}) = (a/2) / R \).
5. \( R = (a/2) / \sin(60^{\circ}) = (a/2) / (\sqrt{3}/2) = a / \sqrt{3} \).
6. Длина дуги L = \( \frac{\pi R}{180^{\circ}} \cdot 120^{\circ} = \frac{2 \pi R}{3} = \frac{2 \pi (a / \sqrt{3})}{3} = \frac{2 \pi a}{3 \sqrt{3}} = \frac{2 \pi a \sqrt{3}}{9} \).

б) Площадь сектора:

1. Площадь сектора S = \( \frac{1}{2} R^2 \theta \), где \(\theta\) — угол в радианах.
2. \( 120^{\circ} = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2 \pi}{3} \) радиан.
3. \( S = \frac{1}{2} \cdot (a / \sqrt{3})^2 \cdot \frac{2 \pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{3} \cdot \frac{2 \pi}{3} = \frac{\pi a^2}{9} \).

Вариант 2

1. В параллелограмме ABCD

а) Выражение векторов:

1. Вектор ОС: Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О, которая является серединой каждой диагонали. Следовательно, \(\vec{AO} = \vec{OC}\) и \(\vec{BO} = \vec{OD}\).
2. Вектор \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\). Так как \(\vec{AO} = \frac{1}{2} \vec{AC}\), то \(\vec{OC} = \frac{1}{2} \vec{AC} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{BC})\).
3. Вектор OD: \(\vec{AD} = \vec{BC}\). \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{BC}\).
4. \(\vec{OD} = \frac{1}{2} \vec{BD} = \frac{1}{2} (\vec{BC} - \vec{AB})\).

б) Скалярное произведение:

1. Данные: AB = 6, 2BC = 6 => BC = 3, \(\angle A = 60^{\circ}\).
2. Формула скалярного произведения: \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cos(\angle ABC)\).
3. Находим угол ABC: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. \(\angle ABC = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\).
4. Расчет: \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 6 \cdot 3 \cos(120^{\circ}) = 18 \cdot (-\frac{1}{2}) = -9\).

2. Точки K(0; 1), M(3; -3) N(1; -6)

а) Доказательство равнобедренности и прямоугольности:

1. Найдем длины сторон:
• KM = \(\sqrt{(3-0)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
• MN = \(\sqrt{(1-3)^2 + (-6-(-3))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)
• KN = \(\sqrt{(1-0)^2 + (-6-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
2. Равнобедренность: Ни одна из сторон не равна. Проверим, возможно, я ошибся в расчетах или в условии.
3. Перепроверка:
• KM = 5
• MN = \(\sqrt{13}\)
• KN = \(\sqrt{50}\)
4. Вывод: Треугольник KMN не является равнобедренным с данными координатами. Возможно, в условии опечатка.
5. Если предположить, что M(3; 3) вместо (3; -3):
• KM = \(\sqrt{(3-0)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}\)
• MN = \(\sqrt{(1-3)^2 + (-6-3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-9)^2} = \sqrt{4+81} = \sqrt{85}\)
• KN = \(\sqrt{50}\)
6. Если предположить, что N(1; 6) вместо (1; -6):
• KM = 5
• MN = \(\sqrt{(1-3)^2 + (6-(-3))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 9^2} = \sqrt{4+81} = \sqrt{85}\)
• KN = \(\sqrt{(1-0)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\)
7. Вернемся к исходным координатам: KM = 5, MN = \(\sqrt{13}\), KN = \(\sqrt{50}\).
8. Проверим прямоугольность: KM² + MN² = 25 + 13 = 38 ≠ KN².
9. Вывод: С данными координатами треугольник не является ни равнобедренным, ни прямоугольным.
10. Предполагаем, что одна из сторон должна быть равна, и проверим прямоугольность еще раз.
11. Найдем векторы:
• \(\vec{KM} = (3, -4)\), |\(\vec{KM}\)| = 5
• \(\vec{MN} = (-2, -3)\), |\(\vec{MN}\)| = \(\sqrt{13}\)
• \(\vec{KN} = (1, -7)\), |\(\vec{KN}\)| = \(\sqrt{50}\)
12. Скалярные произведения:
• \(\vec{KM} \cdot \vec{MN} = 3(-2) + (-4)(-3) = -6 + 12 = 6
  e 0\)
• \(\vec{KM} \cdot \vec{KN} = 3(1) + (-4)(-7) = 3 + 28 = 31
  e 0\)
• \(\vec{MN} \cdot \vec{KN} = (-2)(1) + (-3)(-7) = -2 + 21 = 19
  e 0\)
13. Вывод: С данными координатами задача не решается. Для выполнения задания требуется пересмотр условий.

б) Длина медианы NL:

1. Медиана NL соединяет вершину N с серединой стороны KM.
2. Координаты середины KM (P): \(P = (\frac{0+3}{2}, \frac{1+(-3)}{2}) = (\frac{3}{2}, -1)\).
3. Длина медианы NL = NP = \(\sqrt{(\frac{3}{2} - 1)^2 + (-1 - (-6))^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (5)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 25} = \sqrt{\frac{101}{4}} = \frac{\sqrt{101}}{2}\).

3. Треугольник ABC, ∠A = α > 90°, ∠B = β, высота CD = h

а) Сторона AB и радиус R описанной окружности:

1. BD — высота к AC. D лежит на продолжении AC за A.
2. В прямоугольном треугольнике BDA (\(\angle BDA = 90^{\circ}\)): \(\angle BAD = 180^{\circ} - \alpha \).
3. \( AB = h / \sin(\angle BAD) = h / \sin(180^{\circ} - \alpha) = h / \sin \alpha \).
4. \( AD = h / \text{ctg}(180^{\circ} - \alpha) = -h \text{ctg} \alpha \).
5. Сторона BC: В треугольнике ABC, \(\angle C = 180^{\circ} - \alpha - \beta\).
6. По теореме синусов: \(\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = 2R \).
7. \( 2R = \frac{AB}{\sin C} = \frac{h / \sin \alpha}{\sin(180^{\circ} - \alpha - \beta)} = \frac{h / \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \).
8. \( R = \frac{h}{2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)} \).
9. Сторона AB = \( h / \sin \alpha \).

б) Вычисление R, если α = 135°, h = 3 см, β = 30°:

1. \( \angle C = 180^{\circ} - 135^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ} \).
2. \( \alpha + \beta = 135^{\circ} + 30^{\circ} = 165^{\circ} \).
3. \( \sin \alpha = \sin 135^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
4. \( \sin(\alpha + \beta) = \sin 165^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \).
5. \( R = \frac{h}{2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)} = \frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}} = \frac{12}{\sqrt{12} - 2} = \frac{12}{2\sqrt{3} - 2} = \frac{6}{\sqrt{3} - 1} \).
6. \( R = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{2} = 3(\sqrt{3} + 1) \).

4. Хорда окружности равна а, стягивает дугу в 60°

а) Длина дуги:

1. Радиус R: В равнобедренном треугольнике, образованном двумя радиусами и хордой, угол при вершине равен 60°. Это значит, что треугольник равносторонний.
2. Следовательно, R = a.
3. Длина дуги L = \( \frac{\pi R}{180^{\circ}} \cdot 60^{\circ} = \frac{\pi R}{3} = \frac{\pi a}{3} \).

б) Площадь сектора:

1. \( 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \) радиан.
2. \( S = \frac{1}{2} R^2 \theta = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi a^2}{6} \).