Итоговая контрольная работа Вариант 1 Найдите значение выражения \(\frac{1}{4} x³ + 3y²\) при \(x = -2\) и \(y = -1\). Решите систему уравнений \(\begin{cases} x + 2y = 11 \\ 5x - 3y = -3 \end{cases}\). Разложите на множители: а) \(3x² - 30x + 75\); б) \(a² - 3b² - a + b\). Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определённой скоростью, намеченный путь он пройдёт за 2,5 ч. Но он шёл со скоростью, превышающей намеченную на 1 км/ч, поэтому прошёл путь за 2 ч. Найдите длину пути. Решите уравнение: а) \(\frac{4x + 8}{3} - \frac{2x - 3}{4} = 1\); б) \(5x - 6x² = 0\). Решите графически уравнение \(x² = 3 - 2x\).

Вариант 1

1. Найдите значение выражения \(\frac{1}{4} x³ + 3y²\) при \(x = -2\) и \(y = -1\).

1. Подставим значения \(x = -2\) и \(y = -1\) в выражение:
2. \( \frac{1}{4} (-2)³ + 3(-1)² = \frac{1}{4} (-8) + 3(1) \)
3. \( = -2 + 3 = 1 \)

Ответ: 1

2. Решите систему уравнений:

\(\begin{cases} x + 2y = 11 \\ 5x - 3y = -3 \end{cases}\)

1. Выразим \(x\) из первого уравнения: \( x = 11 - 2y \).
2. Подставим во второе уравнение: \( 5(11 - 2y) - 3y = -3 \).
3. \( 55 - 10y - 3y = -3 \).
4. \( -13y = -58 \).
5. \( y = \frac{-58}{-13} = \frac{58}{13} \).
6. Найдем \(x\): \( x = 11 - 2(\frac{58}{13}) = 11 - \frac{116}{13} = \frac{143 - 116}{13} = \frac{27}{13} \).

Ответ: \( x = \frac{27}{13}, y = \frac{58}{13} \)

3. Разложите на множители:

а) \(3x² - 30x + 75\)

1. Вынесем общий множитель 3: \( 3(x² - 10x + 25) \).
2. Свернем выражение в скобках по формуле квадрата разности: \( 3(x - 5)² \).

б) \(a² - 3b² - a + b\)

1. Перегруппируем слагаемые: \( (a² - a) - (3b² - b) \).
2. Вынесем общий множитель \(a\) из первой группы и \(b\) из второй: \( a(a - 1) - b(3b - 1) \). (Данное выражение не раскладывается на множители в стандартном виде без дополнительных условий или ошибок в записи.)

Ответ: а) \( 3(x - 5)² \); б) Выражение не раскладывается на простые множители.

4. Найдите длину пути.

1. Пусть \(s\) — длина пути (в км), \(v\) — намеченная скорость (в км/ч).
2. По условию: \( \frac{s}{v} = 2.5 \) и \( \frac{s}{v+1} = 2 \).
3. Из второго уравнения: \( s = 2(v+1) \).
4. Подставим \(s\) в первое уравнение: \( \frac{2(v+1)}{v} = 2.5 \).
5. \( 2v + 2 = 2.5v \).
6. \( 0.5v = 2 \), значит \( v = 4 \) км/ч.
7. Найдем длину пути: \( s = 2(v+1) = 2(4+1) = 2(5) = 10 \) км.

Ответ: 10 км

5. Решите уравнение:

а) \(\frac{4x + 8}{3} - \frac{2x - 3}{4} = 1\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю 12: \( \frac{4(4x + 8) - 3(2x - 3)}{12} = 1 \).
2. \( 16x + 32 - 6x + 9 = 12 \).
3. \( 10x + 41 = 12 \).
4. \( 10x = 12 - 41 \).
5. \( 10x = -29 \).
6. \( x = -2.9 \).

б) \(5x - 6x² = 0\)

1. Вынесем общий множитель \(x\): \( x(5 - 6x) = 0 \).
2. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: \( x = 0 \) или \( 5 - 6x = 0 \).
3. Из второго уравнения: \( 6x = 5 \), \( x = \frac{5}{6} \).

Ответ: а) \( x = -2.9 \); б) \( x = 0, x = \frac{5}{6} \)

6. Решите графически уравнение \(x² = 3 - 2x\).

Построим графики функций \( y = x² \) (парабола) и \( y = 3 - 2x \) (прямая).

Графики пересекаются в точках, где \( x² = 3 - 2x \). Из графика видно, что пересечения происходят при \( x = -3 \) и \( x = 1 \).

Ответ: \( x = -3, x = 1 \)